כוח משמר

כוח משמר הוא כוח במכניקה קלאסית שניתן להגדיר לו אנרגיה פוטנציאלית. תכונה זו מאפשרת לנתח את השפעת כוח כזה בקלות רבה יותר מאשר כוחות אחרים. חשיבות המושג נגזרת מכך שכוחות רבים בטבע הם כוחות מרכזיים שהם בפרט כוחות משמרים: כוח הכבידה, הכוח האלקטרוסטטי, וכוחות אלסטיים הם דוגמאות לכוחות משמרים.

הגדרה

כוח $F$ נקרא כוח משמר אם ורק אם סך העבודה הנעשית על ידי $F$ על גוף הוא אפס בתנועתו בכל מסילה סגורה שהיא.

אין דרישה שהכוח יגרום לגוף לנוע במסילה סגורה, אלא רק שאם הגוף חוזר לנקודת ההתחלה בזמן כלשהו, אז העבודה הכוללת של $F$ על הגוף תהיה אפס, בלי תלות במסלול שביצע הגוף.

אם הכוחות האחרים הפועלים על הגוף הם כוחות מאלצים, הניצבים לתנועת הגוף, אז סך כל העבודה שתתבצע על הגוף במהלך התנועה יהיה אפס; כאשר יחזור לנקודת ההתחלה תהיה לו אותה אנרגיה קינטית (אותו גודל מהירות). תהליך זה הוא ביטוי לחוק שימור האנרגיה.

כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית

העבודה של כוח משמר על גוף תלויה רק בנקודות הקצה של התנועה

ההגדרה שניתנה מסבירה מדוע כוחות אלו נקראים משמרים, אך יש הגדרה שקולה ושימושית יותר:

כוח ייקרא משמר אם העבודה שהוא מבצע על גוף בתנועה תלויה אך ורק בנקודות הקצה של התנועה.

לדוגמה, בתרשים משורטטות שתי מסילות אפשריות לתנועה של גוף, S1 ו-S2, שלהן אותן נקודות קצה – נקודה 1 ונקודה 2. אם $F$ הוא כוח משמר, אז העבודה שהוא יבצע על הגוף בתנועה בשני המסלולים שווה.

הגדרה זו שקולה להגדרה המקורית, כיוון שמסילה סגורה היא מסילה שבה נקודות הקצה מתלכדות, כלומר נקודת ההתחלה זהה לנקודת הסיום. לכן, אם כוח הוא משמר לפי ההגדרה השנייה, העבודה שלו לאורך מסילה כזו תהיה שווה לעבודה שלו על גוף שנותר בנקודת ההתחלה (שהרי זו מסילה אחרת, עם אותן נקודות קצה), כלומר אפס.

ההוכחה בכיוון ההפוך קצת מורכבת יותר: העבודה של הכוח על מסילות סגורות היא אפס, ויהיו S1 ו-S2 מסילות כלשהן עם אותן נקודות קצה, כמתואר בתרשים. לפי ההנחה, העבודה של הכוח על המסילה הסגורה $\ {\tilde {S2}}\circ S1$, כלומר המסילה S1 ולאחריה המסילה S2 בכיוון ההפוך, היא אפס. העבודה הכוללת היא העבודה על כל קטע במסילה בנפרד, לכן:

$$\ W_{S1}+W_{\tilde {S2}}=0$$

כאשר $\ W_{S}$ מייצג את העבודה של $F$ לאורך מסילה $S$. אך היפוך המסילה הופך את הסימן של העבודה, ולכן מקבלים ש־$\ W_{S1}=-W_{\tilde {S2}}=W_{S2}$, כנדרש.

בעזרת תכונה זו ניתן להגדיר פוטנציאל לכוח $F$ (או בניסוח אחר, להגדיר את האנרגיה הפוטנציאלית של גוף הנע בהשפעת $F$), כך: בוחרים נקודה שרירותית בתור נקודת ייחוס, $O$. עתה, לכל נקודה במרחב ניתן להגדיר פונקציה $U$ על ידי: $\ U(X)=W_{X\to O}$, כאשר $\ X\to O$ היא מסילה כלשהי מ־$X$ ל־$O$ (פה משתמשים בכך שהעבודה תלויה אך ורק בנקודות הקצה של המסילה).

העבודה של הכוח $F$ על גוף הנע מנקודה A לנקודה B נתונה על ידי $\ W_{A\to B}=-(U(B)-U(A))=-\Delta U$. נוסחה זו מאפשרת לכתוב את חוק שימור האנרגיה בצורה הבאה: $\ W_{other}=\Delta E_{k}+\Delta U$.

כאן $\ \Delta E_{k}$ הוא השינוי באנרגיה הקינטית של הגוף, ו-$\ W_{other}$ היא העבודה של הכוחות האחרים (אם ישנם) על הגוף. בפרט, אם הגוף נע אך ורק בהשפעת כוח משמר, מתקבל גודל שנשמר לאורך כל התנועה – $\ E_{k}+U$. גודל כזה מכונה "אינטגרל של התנועה", והוא מקל מאוד בפתרון המשוואות הדיפרנציאליות של התנועה.

תיאור מתמטי

ערך מורחב – שדה וקטורי משמר

התנאים הבאים שקולים לכך שכוח $F$ הוא כוח משמר:

1. העבודה שהכוח מבצע על גוף לאורך כל מסילה סגורה C היא אפס:
   $W\equiv \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0$
2. ניתן להגדיר פוטנציאל U לכוח:
   ${\vec {F}}=-\nabla U$
3. הרוטור של הכוח הוא אפס בכל מקום:
   $\nabla \times {\vec {F}}=0$

דוגמאות לכוח משמר

• כוח קבוע – כוח שאינו משתנה בהתאם לתנאי המערכת, כלומר שגודלו וכיוונו קבועים.
• כוח מרכזי – כוח שכיוונו תלוי רק במרחקו מנקודה מסוימת. בפרט:
  • כוח הכבידה
  • הכוח האלקטרוסטטי
  • כוח אלסטי

פיתוח דוגמת הכבידה

שדה הכבידה סמוך לכדור-הארץ הוא בקירוב מצוין שדה כוח אחיד, כלומר כוח קבוע, הפועל על גוף בעל מסה מסוימת באופן שאינו תלוי במיקומו של הגוף. במקרה של כוח הכבידה, הכוח מכוון כלפי מטה וגודלו הוא $mg$ כאשר $m$ היא מסת הגוף, ו-$g$ הוא קבוע תאוצת הכובד וערכו הוא בקירוב 9.81 מטר לשנייה בריבוע.

מכיוון שלכוח רכיב אנכי בלבד, שגודלו אינו תלוי במיקום הגוף, העבודה שהכוח מבצע על גוף תלויה אך ורק בתנועה של הגוף בציר האנכי. חישוב פשוט מראה שבתנועה מנקודה 1 לנקודה 2, העבודה שהכוח מבצע נתונה על ידי הנוסחה

$$\ W_{S}=mg(h_{1}-h_{2})=-{(mgh_{2}-mgh_{1})}$$

כאשר $h_{1}$ ו-$h_{2}$ הם הגבהים של הנקודות A ו-B, בהתאמה. במילים אחרות, כוח הכבידה משמר ופונקציית הפוטנציאל שלו נתונה על ידי:

$$U(X)=mgh$$

העבודה שמבוצעת על חרוז בשדה כבידה אחיד תלויה אך ורק בגובה של נקודת ההתחלה והקצה

עובדה זו מאפשרת ניתוח של תנועת הגוף בהשפעת הכבידה בקלות רבה. למשל אם חרוז מחליק ללא חיכוך על מסילה חלקה כלשהי – מפותלת ומורכבת ככל שתהיה – ניתן לדעת שמהירותו בכל נקודה תקיים את המשוואה:

$$const=U(X)+E_{k}=mgh+{\frac {1}{2}}mv^{2}$$

כלומר:

$$|v|={\sqrt {2(C-gh)}}$$

כאן $C=gh_{0}+{\frac {1}{2}}v_{0}^{2}$, כאשר $v_{0}$ ו-$h_{0}$ הם המהירות והגובה ההתחלתיים של הגוף.

הקירוב של כוח הכבידה ככוח אחיד אינו נחוץ, שכן כוח הכבידה הכללי הוא כוח משמר מנקודת המבט הקלאסית. ניוטון, שהיה הראשון שנתן ניסוח נכון של כוח הכבידה הרחק מפני כדור הארץ, הסתמך על כך שהוא כוח משמר בחישוב מסלוליהם של כוכבי הלכת. טיפול בנוסחה הכללית הוא מורכב יותר ודורש שימוש בחשבון אינפיניטסימלי.

כוחות לא משמרים

ישנם כוחות התלויים במשתנים נוספים מלבד המיקום של הגוף, כוחות כגון כוח החיכוך, וכוחות סחף. כוחות אלה בוודאי אינם יכולים להיות כוחות משמרים. ניתן גם להמציא, יחסית בקלות, כוחות שאף-על-פי שהם תלויים במיקום בלבד, הם אינם כוחות משמרים.

למשל, ניתן לדמיין את שדה הכוח הבא – בנקודות מחוץ לסלון, הכוח פועל על הגוף כמו כוח הכבידה, כלומר ככוח אחיד המכוון כלפי מטה. על נקודות בתוך חלל הסלון פועל כוח אחיד דומה, אך בכיוון הפוך – כלפי מעלה (ניתן גם להניח שהמעבר בין שני הכוחות רציף). שדה כוח כזה אינו משמר. דוגמה למסילה המראה שהכוח לא משמר:

1. מתחילים כאשר הגוף נמצא בגובה התקרה של הסלון, אך מחוץ לסלון. לוקחים את הגוף ומורידים אותו לרצפה מחוץ לסלון (הכוח מבצע על הגוף עבודה "חיובית").
2. מביאים את הגוף לתוך הסלון מבלי לשנות את גובהו (כך שלא מתבצעת עבודה בשלב זה).
3. בסלון מעלים את הגוף לתקרה (כך ששוב מתבצעת עליו עבודה "חיובית").
4. מוציאים את הגוף החוצה (שוב, באופן שלא תתבצע עליו עבודה).

מתקבלת מסילה שסך כל העבודה על גוף הנע בה הוא חיובי. היה אפשר לבנות מתקן שינצל כוח שכזה כדי "לשאוב" עוד ועוד אנרגיה מהמערכת, ללא התערבות כלל (אפשר למשל לחבר את הגוף למוט קשיח, כך שהוא ינוע במעגל שחציו בתוך הסלון וחציו מחוץ לסלון. בהשפעת הכוח, הגוף היה הולך ומאיץ בלי סוף).

כוחות לא משמרים כאלו אינם מצויים בטבע.

שימור מקומי לעומת שימור גלובלי

אם מתירים הגדרת כוחות רק על חלק מהמרחב (אפשר לדמיין שבמרחב יש "חורים", שבהם הכוח לא מוגדר), נוצרים כוחות משמרים באופן מקומי (משמרים לוקאלית), אף על פי שהם אינם משמרים במובן הרגיל (משמרים גלובלית).

כלומר, לכל נקודה יש סביבה קטנה, כך שאם מגבילים את התנועות האפשריות לסביבה זו, הכוח הוא משמר, כלומר העבודה שהוא מבצע על כל מסילה סגורה (בסביבה זו) היא אפס; אבל ישנן גם מסילות אחרות, שאינן "כלואות" באותה סביבה, והעבודה עליהן אינה אפס.

נקודת המבט פה היא מתמטית – בוחנים את כל שדות הכוח החלקים שאפשר לדמיין, מבלי לשאול האם כוחות אלה באמת מופיעים בטבע. למעשה, אין חשיבות מיוחדת לכך שמדובר בכוחות – ניתן היה להשתמש בשדות וקטוריים כלשהם; מושג העבודה מתחלף אז באינטגרל מסילתי. מתברר, ששדות וקטוריים כאלו, שהם משמרים מקומית אבל לא משמרים גלובלית, מכילים מידע רב על ה"חורים" של המרחב. מידע זה, המתומצת בחבורת הקוהומולוגיה של המרחב, הוא בעל ערך מיוחד בטופולוגיה אלגברית ובגאומטריה דיפרנציאלית, משום שהוא מאפשר לזהות את החורים מתוך המרחב, מקום שאי אפשר לראות אותם באופן ישיר.

קישורים חיצוניים

• מבוא לכוחות משמרים בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
• כוח משמר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)