מרחב דואלי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־21:06, 20 במאי 2006

המרחב הדואלי הוא מבנה טבעי המוגדר על מרחב וקטורי V מעל שדה F. זהו מרחב הכולל את כל הפונקציונלים הליניאריים V לשדה F. למבנה זה יש חשיבות רבה באלגברה לינארית ובפרט באנליזה פונקציונלית וגאומטריה דיפרנציאלית.

הגדרת המרחב הדואלי

מעל מרחב וקטורי

יהי $\ V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\ F$ .

המרחב הדואלי של $\ V$ שיסומן ב- $\ V^{*}$ הוא המרחב הוקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות $\ V\to F$ . החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית.

איבר ב- $\ V^{*}$ נקרא פונקציונאל לינארי.

מעל מרחב בנך

יהי $\ X$ מרחב בנך מעל שדה סקלרי $\ F$ . אזי פונקציונל $\ \Phi :X(F)\to F$ הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה $\ F$ .

נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל $\ X$ בסימון $\ X^{\#}$ . זהו מרחב לינארי. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת הלינאריות.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

\ \|\Phi \|=\sup _{x\neq 0}{\frac {|\Phi (x)|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|\leq 1}{|\Phi (x)|}

אזי תמיד מתקיים ש $\ |\Phi (x)|\leq \|\Phi \|\cdot \|x\|$ .

פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( $\ \|\Phi \|<\infty$ ) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על $\ X$ מסמנים ב- $\ X^{*}$ . זהו מרחב בנך - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב $\ X^{*}$ קוראים "המרחב הדואלי" של $\ X$ .

למרחב הדואלי יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.

הבסיס הדואלי

נניח כי $\ V$ ממימד סופי ויהי $\ \left\{v_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ בסיס עבורו.

נסמן ב- $\ v_{i}^{*}$ את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על $\ v_{i}$ ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).

הקבוצה $\ \left\{v_{i}^{*}\right\}_{i=1}^{n}$ מהווה בסיס ל- $\ V^{*}$ שיקרא הבסיס הדואלי. בסיס זה מקיים את כלל הדלתא של קרונקר - $\ v_{i}^{*}(v_{j})=\delta _{ij}$ - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.

ההעתקה הדואלית

תהי $\ T:V\to W$ העתקה לינארית. ההעתקה $\ T^{*}:W^{*}\to V^{*}$ המוגדרת על ידי $\ T^{*}(w^{*})(v)=w^{*}(T(v))$ תקרא ההעתקה הדואלית של $\ T$ .

אם $\ A$ היא המטריצה המייצגת של $\ T$ ביחס לבסיסים כלשהם של $\ V$ ו- $\ W$ אז המטריצה $\ A^{t}$ תייצג את $\ T^{*}$ בבסיסים הדואליים המתאימים.

ראו גם

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+'''המרחב הדואלי''' הוא מבנה טבעי המוגדר על [[מרחב וקטורי]] V מעל [[שדה (אלגברה)|שדה]] F. זהו מרחב הכולל את כל ה[[פונקציונל|פונקציונלים]] הליניאריים V לשדה F. למבנה זה יש חשיבות רבה ב[[אלגברה לינארית]] ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].
 ==הגדרת המרחב הדואלי==
+=== מעל מרחב וקטורי ===
 יהי <math>\  V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\   F</math>.
@@ שורה 5: / שורה 9: @@
 '''המרחב הדואלי של <math>\  V </math>''' שיסומן ב-<math>\  V^* </math> הוא המרחב הוקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות <math>\  V \to F</math>. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית.
-איבר ב-<math>\  V^* </math>  נקרא [[פונקציונאל לינארי]].
+איבר ב-<math>\  V^* </math>  נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינארי]].
+=== מעל מרחב בנך ===
+יהי <math>\ X</math> [[מרחב בנך]] מעל [[שדה (אלגברה)|שדה סקלרי]] <math>\ F</math>. אזי [[פונקציונל]] <math>\ \Phi : X(F) \to F</math> הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה <math>\ F</math>.
+נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל <math>\ X</math> בסימון <math>\ X^\#</math>. זהו [[מרחב לינארי]]. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת ה[[טרנספורמציה לינארית|לינאריות]].
+מגדירים [[נורמה (מתמטיקה)|נורמה]] של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:
+: <math>\ \| \Phi \| = \sup_{x \ne 0}{\frac{ | \Phi (x) | }
+{\| x \|} } = \sup_{ \| x \| \le 1}{ | \Phi (x) | }</math>
+אזי תמיד מתקיים ש <math>\ | \Phi (x) | \le \| \Phi \| \cdot \| x \|</math>.
+פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( <math>\ \| \Phi \| < \infty</math>) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט [[רציפות|פונקציונל רציף]] לפי [[תנאי ליפשיץ]].
+את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על <math>\ X</math> מסמנים ב-<math>\ X^*</math>. זהו [[מרחב בנך]] - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב <math>\ X^*</math> קוראים "'''המרחב הדואלי'''" של <math>\ X</math>.
+למרחב הדואלי יש חשיבות רבה ב[[אנליזה פונקציונלית]].
 ==הבסיס הדואלי==
@@ שורה 12: / שורה 34: @@
 בסיס עבורו.
-נסמן ב-<math>\ v_i^*</math> את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על
+נסמן ב-<math>\ v_i^*</math> את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על <math>\ v_i</math> ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).
-<math>\ v_i</math> ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).
-הקבוצה <math>\ \left\{v_i^*\right\}_{i=1}^n</math> מהווה בסיס ל-<math>\  V^* </math> שיקרא '''הבסיס הדואלי'''.
+הקבוצה <math>\ \left\{v_i^*\right\}_{i=1}^n</math> מהווה בסיס ל-<math>\  V^* </math> שיקרא '''הבסיס הדואלי'''. בסיס זה מקיים את כלל ה[[דלתא של קרונקר]] - <math>\ v_i^* (v_j) = \delta_{ij}</math> - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.
 ==ההעתקה הדואלית==
@@ שורה 27: / שורה 48: @@
 <math>\ A^t</math> תייצג את <math>\ T^*</math> בבסיסים הדואליים המתאימים.
+== ראו גם ==
+* [[פונקציונל]]
+* [[אנליזה פונקציונלית]]
+* [[מרחב בנך]]
 [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
+[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]