השערת המונה החריג – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־13:25, 14 ביוני 2013

בתורת הקבוצות, השערת המונה החריג (SCH) היא ההנחה שהשערת הרצף לא נכשלת במונים חריגים באופן לא טריוויאלי. למונח "לא טריוויאלי" יש שני מובנים מקובלים:

אם המונה החריג $\mu$ הוא גבולי בחזק, כלומר לכל $\lambda <\mu$ מתקיים $2^{\lambda }<\mu$ , אז מתקיים $2^{\mu }=\mu ^{+}$
אם $2^{{\mbox{cf }}\mu }<\mu$ אז $\mu ^{{\mbox{cf }}\mu }=\mu ^{+}$

הגרסה השניה גוררת את הראשונה, ואינה נובעת ממנה ( ${\mbox{cf}}(\kappa )$ היא הקופינליות של $\kappa$ ).

כיוון שהשערת הרצף המוכללת עקבית ביחס ל-ZFC, לפי תוצאה של גדל, השערת המונה החריג היא עקבית. לעומת זאת, בניגוד למצב הקיים במונים סדירים, קיימות מגבלות לא טריוויאלית על הפרת השערת הרצף במונה חריג. שאלות בנוגע לחוזק ההתיישבות והעקביות של הפרות שונות של השערת המונה החריג הן מרכזיות בתורת הקבוצות המודרנית.

לאורך הערך, הפונקציה $\kappa \rightarrow 2^{\kappa }$ המקבלת מונה $\kappa$ ומחזירה את עוצמת קבוצת החזקה שלו, תיקרא "פונקציית הרצף".

רקע

זמן קצר יחסית לאחר פיתוח שיטת הכפייה על ידי פול כהן והדגמת אי התלות של השערת הרצף, בשנת 1970, פירסם ויליאם אסטון כפייה המאפשרת לקבל ערכים כרצוננו לפונקציית הרצף, עבור כל המונים הסדירים. המגבלות היחידות היו המונוטוניות של פונקציית הרצף ומשפט קניג, ${\mbox{cf}}(2^{\kappa })>\kappa$ . תוצאה זאת נקראת משפט אסטון.

משפט אסטון לא מטפל בערכים שמקבלת פונקציית הרצף במונים חריגים, ולכן באופן טבעי עלתה השאלה האם ניתן לשנות את ערכי פונקציית הרצף במונים חריגים בצורה שרירותית, עד כדי אותן מגבלות שקיימות על המונים הסדירים?

מגבלות ב-ZFC

בשנת 1975 פורסמו תוצאות ראשונות שהדגימו את המגבלות הנוספות שקיימות בהפרת השערת הרצף במונים חריגים. ג'ק סילבר הוכיח כי לא ניתן להפר את השערת הרצף בפעם הראשונה במונה חריג מקופינליות שאינה בת מנייה. למשל, אם לכל $\alpha <\omega _{1}$ מתקיים $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ אז בהכרח $2^{\aleph _{\omega _{1}}}=\aleph _{\omega _{1}+1}$ . זמן קצר לאחר מכן פורסם משפט Hajnal-Galvin. המשפט קבע כי אם $\aleph _{\alpha }$ מונה חריג עם קופינליות לא בת מנייה, אז $2^{\aleph _{\alpha }}<\aleph _{\gamma }$ כאשר $\gamma =(2^{|\alpha |})^{+}$ .

משפטים אלו הסבירו חלק מהקושי בקביעת ערכים שרירותיים לפונקציית הרצף של מונים חריגים. לפני פרסום משפט סילבר, הדעה הרווחת היתה שמשפט אסטון לא מטפל במונים חריגים מסיבות טכניות בלבד וכי שיפורים בשיטת הכפייה יובילו לתוצאות אי תלות הדומות לאלו שהתקבלו במונים הסדירים. משפט סילבר הדגים כי הבעיות בהכללת משפט אסטון למונים חריגים נבעו ממגבלות אמיתיות, ב-ZFC, שקיימות על התנהגות פונקציית הרצף במונים החריגים.

בשנת 1978, שהרן שלח התחיל לפרסם תוצאות מתורת ה-pcf, אותה הוא פיתח. הרעיון הכללי שבבסיס תורה זו הוא שניתוח נכון של התנהגות אריתמטיקת המונים במונים חריגים ינבע מהבנה של יחסי סדר מהצורה $\prod _{i\in A}\lambda _{i}/I$ , כאשר $\lambda _{i}$ מונים סדירים שגבולם המונה החריג בו אנו מתעניינים ו-I הוא אידאל על קבוצת האינדקסים A. רעיונות דומים, בצורה הרבה פחות מפותחת, הופיעו בהוכחות של משפט סילבר ומשפט Hajnal-Galvin. שיטה זו אפשרה להשיג תוצאות על התנהגות פונקציית הרצף במונים חריגים מקופינאליות בת מנייה. במסגרת הזו, בשנת 1982, שלח הוכיח את החסם המפורסם:

2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{4}}

, תחת ההנחה ש-

\aleph _{\omega }

גבולי חזק.

חסם זה לא שופר מאז.

תוצאות אי תלות

כדי להוכיח את עקביות שלילת השערת המונה החריג יש להניח קיום מונים גדולים למדי. קיים קשר הדוק בין שלילת SCH לבין שלילת השערת הרצף במונה מדיד. בכיוון אחד, הסיבה היא קיום כפייה (הנקראת כפיית פריקרי, Prikry Forcing) שהופכת מונה מדיד למונה חריג מקופינליות $\omega$ , בלי למוטט מונים. לכן מתוך מודל בו השערת הרצף נכשלת במונה מדיד ניתן לעבור, על ידי כפיית פריקרי, למודל בו השערת הרצף נכשלת במונה חריג. הכיוון השני הוא מורכב יותר וניתן על ידי תורת המודלים הפנימיים.

מוטי גיטיק הוכיח כי חוזק ההתיישבות של שלילת SCH הוא בדיוק קיום מונה מדיד $\kappa$ מסדר מיטשל $\kappa ^{++}$ . הוא הראה זאת, מצד אחד, על ידי בניית כפייה שמשאירה את $\kappa$ מדיד אך מגדילה את קבוצת החזקה שלו לעוצמה $\kappa ^{++}$ . כפייה זו מבוססת על בנייה דומה של סילבר, שהשתמשה במונה על-קומפקטי. מצד שני, על ידי שימוש בתורת המודלים הפנימיים, הוא הוכיח כי אם SCH נכשלת במונה מסויים, אז יש מודל פנימי עם מונה מדיד $\kappa$ מסדר מיטשל $\kappa ^{++}$ .

מנחם מגידור הוכיח כי שלילת SCH במונה המינימלי האפשרי, $\aleph _{\omega }$ , היא עקבית תחת הנחת קיום מונה על קומפקטי. במודל שמתקבל, מתקיים $2^{\aleph _{n}}=\aleph _{n+1}$ לכל מספר טבעי אבל $2^{\aleph _{\omega }}=\aleph _{\omega +2}$ . תוצאה זו מדגימה כי משפט סילבר אינו תקף במונים מקופינאליות בת מנייה. בהמשך, מגידור ושלח שיפרו את הבנייה הזו והראו כי ניתן להשיג $2^{\aleph _{\omega }}=\aleph _{\beta +1}$ לכל סודר בן מנייה אינסופי $\beta$ .

השאלה האם ייתכן כי $2^{\aleph _{\omega }}>\aleph _{\omega _{1}}$ , כאשר $\aleph _{\omega }$ גבולי חזק, היא בעיה פתוחה מרכזית בתורת הקבוצות.

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 # אם <math>2^{\mbox{cf } \mu} < \mu</math> אז <math>\mu^{\mbox{cf } \mu} = \mu^{+}</math>
-הגרסה השניה גוררת את הראשונה, ואינה נובעת ממנה.
+הגרסה השניה גוררת את הראשונה, ואינה נובעת ממנה (<math>\mbox{cf} (\kappa)</math> היא ה[[קופינליות]] של <math>\kappa</math>).
-כיוון ש[[השערת הרצף המוכללת]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] ביחס ל-[[ZFC]], לפי תוצאה של [[קורט גדל]], השערת המונה החריג היא עקבית.
+כיוון ש[[השערת הרצף המוכללת]] [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] ביחס ל-[[ZFC]], לפי תוצאה של [[קורט גדל|גדל]], השערת המונה החריג היא עקבית.
-לעומת זאת, בניגוד למצב הקיים במונים סדירים, קיימות מגבלות לא טריוויאלית על הפרה של השערת הרצף במונה חריג. שאלת העקביות של הפרות שונות של השערת המונה החריג היא בעיה חשובה בתורת הקבוצות המודרנית.
+לעומת זאת, בניגוד למצב הקיים במונים סדירים, קיימות מגבלות לא טריוויאלית על הפרת השערת הרצף במונה חריג. שאלות בנוגע ל[[חוזק התיישבות|חוזק ההתיישבות]] והעקביות של הפרות שונות של השערת המונה החריג הן מרכזיות בתורת הקבוצות המודרנית.
 לאורך הערך, הפונקציה <math>\kappa \rightarrow 2^{\kappa}</math> המקבלת [[מספר מונה|מונה]] <math>\kappa</math> ומחזירה את [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] שלו, תיקרא "פונקציית הרצף".
 == רקע ==
-זמן קצר יחסית לאחר פיתוח שיטת ה[[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] על ידי [[פול כהן]], בשנת [[1970]], פירסם [[ויליאם אסטון]] כפייה המאפשרת לקבל ערכים כרצוננו לפונקציית הרצף, עבור המונים הסדירים. המגבלות היחידות היו המונוטוניות של פונקציית הרצף ו[[משפט קניג (תורת הקבוצות)|משפט קניג]], <math>\mbox{cf}(2^{\kappa}) > \kappa</math>. תוצאה זאת נקראת '''משפט אסטון'''.
+זמן קצר יחסית לאחר פיתוח שיטת ה[[כפייה (לוגיקה מתמטית)|כפייה]] על ידי [[פול כהן]] והדגמת אי התלות של השערת הרצף, בשנת [[1970]], פירסם [[ויליאם אסטון]] כפייה המאפשרת לקבל ערכים כרצוננו לפונקציית הרצף, עבור כל המונים הסדירים. המגבלות היחידות היו המונוטוניות של פונקציית הרצף ו[[משפט קניג (תורת הקבוצות)|משפט קניג]], <math>\mbox{cf}(2^{\kappa}) > \kappa</math>. תוצאה זאת נקראת '''משפט אסטון'''.
-משפט אסטון לא מטפל בערכים שמקבלת פונקציית הרצף במונים חריגים, ולכן באופן טבעי עלתה השאלה האם ניתן לשנות את פונקציית הרצף במונים חריגים בצורה שרירותית, עד כדי המגבלות שקיימות על המונים הסדירים?
+משפט אסטון לא מטפל בערכים שמקבלת פונקציית הרצף במונים חריגים, ולכן באופן טבעי עלתה השאלה האם ניתן לשנות את ערכי פונקציית הרצף במונים חריגים בצורה שרירותית, עד כדי אותן מגבלות שקיימות על המונים הסדירים?
 == מגבלות ב-ZFC ==
-בשנת [[1975]] פורסמו תוצאות ראשונות שהדגימו את המגבלות שקיימות בהפרת השערת הרצף במונים חריגים. [[ג'ק סילבר]] הוכיח כי לא ניתן להפר את השערת הרצף בפעם הראשונה במונה חריג מקופינליות לא בת מנייה. למשל, אם לכל <math>\alpha < \omega_1</math> מתקיים <math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}</math> אז בהכרח <math>2^{\aleph_{\omega_1}} = \aleph_{\omega_1 + 1}</math>.
+בשנת [[1975]] פורסמו תוצאות ראשונות שהדגימו את המגבלות הנוספות שקיימות בהפרת השערת הרצף במונים חריגים. [[ג'ק סילבר]] הוכיח כי לא ניתן להפר את השערת הרצף בפעם הראשונה במונה חריג מ[[קופינליות]] שאינה בת מנייה. למשל, אם לכל <math>\alpha < \omega_1</math> מתקיים <math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha + 1}</math> אז בהכרח <math>2^{\aleph_{\omega_1}} = \aleph_{\omega_1 + 1}</math>.
 זמן קצר לאחר מכן פורסם משפט Hajnal-Galvin. המשפט קבע כי אם <math>\aleph_\alpha</math> מונה חריג עם קופינליות לא [[קבוצה בת מנייה|בת מנייה]], אז <math>2^{\aleph_{\alpha}} < \aleph_{\gamma}</math> כאשר <math>\gamma = (2^{|\alpha|})^{+}</math>.
-משפטים אלו הסבירו חלק מהקושי בקביעת ערכים שרירותיים לפונקציית הרצף של מונים חריגים. לפני פרסום משפט סילבר, הדעה הרווחת היתה שמשפט אסטון לא מטפל במונים חריגים מסיבות טכניות בלבד וכי שיפורים בשיטת הכפייה יובילו לתוצאות אי תלות הדומות לאלו שהתקבלו במונים הסדירים. משפט סילבר הדגים כי הבעיות של הכללת משפט אסטון למונים חריגים נבעו ממגבלות אמיתיות, ב-[[ZFC]], שקיימות על התנהגות פונקציית הרצף במונים החריגים.
+משפטים אלו הסבירו חלק מהקושי בקביעת ערכים שרירותיים לפונקציית הרצף של מונים חריגים. לפני פרסום משפט סילבר, הדעה הרווחת היתה שמשפט אסטון לא מטפל במונים חריגים מסיבות טכניות בלבד וכי שיפורים בשיטת הכפייה יובילו לתוצאות אי תלות הדומות לאלו שהתקבלו במונים הסדירים. משפט סילבר הדגים כי הבעיות בהכללת משפט אסטון למונים חריגים נבעו ממגבלות אמיתיות, ב-[[ZFC]], שקיימות על התנהגות פונקציית הרצף במונים החריגים.
 בשנת [[1978]], [[שהרן שלח]] התחיל לפרסם תוצאות מתורת ה-pcf, אותה הוא פיתח. הרעיון הכללי שבבסיס תורה זו הוא שניתוח נכון של התנהגות אריתמטיקת המונים במונים חריגים ינבע מהבנה של יחסי סדר מהצורה <math>\prod_{i \in A} \lambda_i / I</math>, כאשר <math>\lambda_i</math> מונים סדירים שגבולם המונה החריג בו אנו מתעניינים ו-I הוא [[מסנן (תורת הקבוצות)|אידאל]] על קבוצת האינדקסים A. רעיונות דומים, בצורה הרבה פחות מפותחת, הופיעו בהוכחות של משפט סילבר ומשפט Hajnal-Galvin. שיטה זו אפשרה להשיג תוצאות על התנהגות פונקציית הרצף במונים חריגים מקופינאליות בת מנייה. במסגרת הזו, בשנת [[1982]], שלח הוכיח את החסם המפורסם:
@@ שורה 24: / שורה 24: @@
 חסם זה לא שופר מאז.
 ==תוצאות אי תלות ==
-כדי להוכיח את עקביות שלילת השערת המונה החריג יש להניח קיום [[מונה גדול|מונים גדולים]] למדי. קיים קשר הדוק בין שלילת SCH לבין שלילת השערת הרצף במונה מדיד. בכיוון אחד, הסיבה היא קיום כפייה (הנקראת כפיית פריקרי) שהופכת מונה מדיד למונה חריג מקופינאליות <math>\omega</math>, בלי למוטט מונים. לכן מתוך מודל בו השערת הרצף נכשלת במונה מדיד ניתן לעבור, על ידי כפיית פריקרי, למודל בו השערת הרצף נכשלת במונה חריג.
+כדי להוכיח את עקביות שלילת השערת המונה החריג יש להניח קיום [[מונה גדול|מונים גדולים]] למדי. קיים קשר הדוק בין שלילת SCH לבין שלילת השערת הרצף במונה מדיד. בכיוון אחד, הסיבה היא קיום כפייה (הנקראת כפיית פריקרי, Prikry Forcing) שהופכת מונה מדיד למונה חריג מקופינליות <math>\omega</math>, בלי למוטט מונים. לכן מתוך מודל בו השערת הרצף נכשלת במונה מדיד ניתן לעבור, על ידי כפיית פריקרי, למודל בו השערת הרצף נכשלת במונה חריג. הכיוון השני הוא מורכב יותר וניתן על ידי תורת המודלים הפנימיים.
-[[מוטי גיטיק]] הוכיח כי [[חוזק התיישבות|חוזק ההתיישבות]] של שלילת SCH הוא בדיוק קיום [[מונה מדיד]] <math>\kappa</math> מסדר מיטשל <math>\kappa^{++}</math>. הוא הראה זאת, מצד אחד, על ידי בניית כפייה שמשאירה את <math>\kappa</math> מדיד אך מגדילה את קבוצת החזקה שלו לעוצמה <math>\kappa^{++}</math>. כפייה זו מבוססת על בנייה דומה של סילבר, שהשתמשה ב[[מונה על-קומפקטי]]. מצד שני, על ידי שימוש בתורת [[מודל פנימי (תורת הקבוצות)|המודלים הפנימיים]], הוא הוכיח כי אם SCH נכשלת במונה מסויים, אז יש מודל פנימי עם מונה מדיד <math>\kappa</math> מסדר מיטשל <math>\kappa^{++}</math>.
+[[מוטי גיטיק]] הוכיח כי [[חוזק התיישבות|חוזק ההתיישבות]] של שלילת SCH הוא בדיוק קיום [[מונה מדיד]] <math>\kappa</math> מ[[מונה מדיד#סדר מיטשל של מונה מדיד|סדר מיטשל]] <math>\kappa^{++}</math>. הוא הראה זאת, מצד אחד, על ידי בניית כפייה שמשאירה את <math>\kappa</math> מדיד אך מגדילה את קבוצת החזקה שלו לעוצמה <math>\kappa^{++}</math>. כפייה זו מבוססת על בנייה דומה של סילבר, שהשתמשה ב[[מונה על-קומפקטי]]. מצד שני, על ידי שימוש בתורת [[מודל פנימי (תורת הקבוצות)|המודלים הפנימיים]], הוא הוכיח כי אם SCH נכשלת במונה מסויים, אז יש מודל פנימי עם מונה מדיד <math>\kappa</math> מסדר מיטשל <math>\kappa^{++}</math>.
 [[מנחם מגידור]] הוכיח כי שלילת SCH במונה המינימלי האפשרי, <math>\aleph_\omega</math>, היא עקבית תחת הנחת קיום מונה על קומפקטי. במודל שמתקבל, מתקיים <math>2^{\aleph_n} = \aleph_{n+1}</math> לכל מספר טבעי אבל <math>2^{\aleph_\omega} = \aleph_{\omega + 2}</math>. תוצאה זו מדגימה כי משפט סילבר אינו תקף במונים מקופינאליות בת מנייה. בהמשך, מגידור ושלח שיפרו את הבנייה הזו והראו כי ניתן להשיג <math>2^{\aleph_\omega} = \aleph_{\beta + 1}</math> לכל סודר בן מנייה אינסופי <math>\beta</math>.
-השאלה האם ייתכן כי <math>2^{\aleph_\omega} > \aleph_{\omega_1}</math>, כאשר <math>\aleph_\omega</math> גבולי חזק, היא [[בעיה פתוחה|שאלה פתוחה]] מרכזית בתורת הקבוצות.
+השאלה האם ייתכן כי <math>2^{\aleph_\omega} > \aleph_{\omega_1}</math>, כאשר <math>\aleph_\omega</math> גבולי חזק, היא [[בעיה פתוחה]] מרכזית בתורת הקבוצות.
 [[קטגוריה:תורת הקבוצות]]