אוניברסליות (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, תכונה אוניברסלית היא דרך להציג אובייקט כללי במסגרת קטגוריה נתונה ולהוכיח את יחידותו. למינוח זה שימושים רבים בתחומים שונים במתמטיקה, כמו אלגברה, טופולוגיה אלגברית ועוד. לעתים המוטיבציה לבניית אובייקט יחיד היא עצם קיומו תכונה אוניברסלית כלשהי.

הגדרה פורמלית

יהיו $C,D$ קטגוריות נתונות. יהי $U:D\to C$ פונקטור ו-$X$ אובייקט של $C$.

מורפיזם התחלתי מ-$X$ ל-$U$ הוא זוג $(A,\phi )$ כאשר $A$ אובייקט של $D$ ו-$\phi :X\to U(A)$ מורפיזם ב-$C$, כך שמתקיימת תכונת ההתחלתיות: לכל אובייקט $Y$ ב-$D$ ולכל מורפיזם $f:X\to U(Y)$ קיים ויחיד מורפיזם $g:A\to Y$ כך ש-$U(g)\circ \phi =f$, כלומר הדיאגרמה הבאה מתחלפת:

בדומה, מורפיזם סופי הוא מורפיזם דואלי לקודם: זהו אובייקט סופי מ-$U$ ל-$X$, כלומר זוג $(A,\phi )$ כאשר $A$ אובייקט של $D$ ו-$\phi :U(A)\to X$ מורפיזם ב-$C$, כך שמתקיימת התכונת הסופיות: לכל אובייקט $Y$ ב-$D$ ולכל מורפיזם $f:U(Y)\to X$ קיים ויחיד מורפיזם $g:Y\to A$ כך ש-$\phi \circ U(g)=f$, כלומר:

מורפיזם אוניברסלי הוא בהגדרה אחת משתי הבניות לעיל, ותכונה אוניברסלית היא אחת מהתכונות (ההתחלתית או הסופית) בהתאם. בהתאם לדואליות של המונחים, ניתן להגדיר רק אחד מהם, והשני נובע ישירות על ידי החלפת כיווני החצים.

קיום ויחידות

שאלת הקיום, באופן כללי, היא פתוחה - ניתן לנסח בעיות להן לא קיים אובייקט אוניברסלי. לעומת זאת, בהינתן קיום אובייקט $(A,\phi )$, היחידות (עד כדי איזומורפיזם) מובטחת: אם גם $(A',\phi ')$ מקיים את התכונה, ניתן (בהתאם לתכונה) לבנות מורפיזמים בשני הכיוונים: $k:A\to A',k':A'\to A$ שהופכים אחד את השני.

כלומר, ברגע שמצאת אובייקט אוניברסלי - הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם, ואכן בבניות רבות פשוט מציגים אובייקט שמקיים את הדרישות. יותר מכך, אם נמצא אובייקט 'אחר' המקיים את התכונה, הוא איזומורפי לאובייקט המוכר.

דוגמאות

• מכפלה חופשית היא דוגמא לבנייה אוניברסלית בתורת החבורות, המגדירה באופן מלא את כל ההעתקות משתי חבורות נתונות לחבורה נוספת. בדומה, מכפלת היתוך היא בנייה מעט משוכללת יותר, העונה על בעיה שימושית גם בטופולוגיה אלגברית במשפט ואן קמפן.

• מכפלת חוגים היא בעלת תכונה אוניברסלית הקובעת את המיפויים מאוסף חוגים בעזרת מכפלתם. מכפלה טנזורית של אלגברות (מעל שדה) היא האלגברה הכללית ביותר המהווה תמונה של אלגברת המכפלה הקובעת את ההעתקות מהמכפלה לאלגברה אחרת.

• אלגברת קליפורד היא האלגברה הכללית ביותר בה העלאה בריבוע שקולה להפעלת תבנית ריבועית.

ראו גם

• מכפלה (תורת הקטגוריות)
• אובייקט התחלתי ואובייקט סופי
• אובייקט חופשי (תורת הקטגוריות)