משולש ישר-זווית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 20262609 של 95.86.64.68 (שיחה) למה? |
אין תקציר עריכה תגיות: חשד למילים בעייתיות חזרות עריכה חזותית |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==6== |
|||
{{מפנה|יתר|דמות מקראית|יתר הישמעאלי}} |
|||
[[קובץ:Rtriangle.svg|שמאל|ממוזער|250px|משולש ישר-זווית]] |
|||
'''משולש ישר-זווית''' הוא [[משולש]] בעל [[זווית ישרה]]. |
|||
במשולש זה, שתי ה[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות שכולאות את הזווית הישרה נקראות '''ניצבים''', והצלע שמול הזווית הישרה נקראת '''יתר'''. |
|||
משולש ישר-זווית הוא הבסיס ל[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]]. |
|||
==תכונות== |
|||
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. |
* משולש ישר-זווית מקיים את '''[[משפט פיתגורס]]''': סכום ה[[שטח]]ים של [[ריבוע]]ים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. |
||
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]]. |
* ה[[תיכון (גאומטריה)|תיכון]] ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני [[משולש שווה-שוקיים|משולשים שווי-שוקיים]]. |
||
* משולש ישר-קעיירא57טאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאװגא67 |
|||
* משולש ישר-זווית מקיים את [[משפט תאלס#המשפט השני|משפט תאלס]]: אם משולש ישר-זווית [[מעגל חוסם|חסום במעגל]], אז היתר מתלכד עם [[קוטר]] המעגל. התיכון ליתר הוא [[רדיוס]] במעגל החוסם. |
|||
⚫ | |||
* ה[[גובה (גאומטריה)|גובה]] ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים ה[[דמיון משולשים|דומים]] למשולש המקורי (ולכן גם דומים זה לזה). מכאן נובע [[משפט פיתגורס#אוקלידס|משפט אוקלידס]] - אורך הניצב הוא ה[[ממוצע גאומטרי|ממוצע הגאומטרי]] של היתר ושל היטלו של הניצב על היתר. |
|||
* ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת שני הקטעים שהוא יוצר על היתר. |
|||
* כל ניצב הוא הגובה של הניצב השני. |
|||
* ניצב מול 30 מעלות שווה לחצי היתר. משפט הפוך: אם ניצב שווה חצי יתר - הזווית מול הניצב שווה 30 מעלות. |
|||
* [[חוצה זווית|חוצה הזווית]] הישרה חוצה גם את הזווית שבין התיכון לגובה. |
|||
⚫ | |||
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס) |
:<math>\ a^2+b^2=c^2</math> (משפט פיתגורס) |
||
⚫ | |||
וכן: |
|||
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ h^2}</math> |
|||
שטח המשולש הוא: |
|||
:<math>\text{Area}=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}</math> |
|||
אם רדיוס ה[[מעגל חסום|מעגל החסום]] במשולש הוא <math>\ r</math>, אז מתקיים: |
|||
:<math> r = \frac{1}{2}(a+b-c) = \frac{ab}{a+b+c}</math> |
|||
⚫ | |||
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math> |
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2 </math> |
||
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות== |
==הגדרת פונקציות טריגונומטריות== |
||
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}} |
{{ערך מורחב|פונקציות טריגונומטריות}} |
||
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 |
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 לזחיזין-90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (<math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), מגדירים כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית. |
||
עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר: |
עבור זווית <math>\alpha</math> הכלואה בין הניצב <math>\ b</math> והיתר <math>\ c</math> ומול הצלע <math>\ a</math> מוגדר: |
||
:יכ |
|||
:<math>\sin\alpha =\frac {a}{c},\,\cos\alpha =\frac {b}{c},\,\tan\alpha =\frac {a}{b},\,\sec\alpha =\frac {c}{b},\,\cot\alpha =\frac {b}{a},\,\csc\alpha =\frac {c}{a}</math> |
|||
עבור זווית כללית מגדירים באמצעות [[מעגל היחידה]]. |
|||
⚫ | |||
==משולשים ישרי-זווית מיוחדים== |
|||
⚫ | |||
בישראל מקובל גם המושג "משולש כסף", למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. הזוויות שלו הן: 45, 45, 90. היחס בין אורך היתר לאורך הניצב הוא [[השורש הריבועי של 2|שורש 2]], שהוא ככל הנראה המספר ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונלי]] הראשון שהתגלה. |
|||
==קישורים חיצוניים== |
|||
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Right triangles}} |
|||
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית] |
* [http://www.mathportal.org/calculators/plane-geometry-calculators/right-triangle-calculator.php אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית] |
||
* {{MathWorld|RightTriangle}} |
* {{MathWorld|RightTriangle}} |
||
{{מצולעים ופאונים}} |
|||
[[קטגוריה:משולש]] |
[[קטגוריה:משולש]] |
גרסה מ־17:56, 13 באפריל 2017
6
- משולש ישר-זווית מקיים את משפט פיתגורס: סכום השטחים של ריבועים הבנויים על הניצבים, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר.
- התיכון ליתר שווה למחצית מהיתר, ומכאן שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים.
- משולש ישר-קעיירא57טאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאװגא67
וא והגובה ליתר הוא , אז מתקיים:
- (משפט פיתגורס)
וכן:8וט9ןהם ו- והתיכון ליתר הוא , אז מתקיים:
הגדרת פונקציות טריגונומטריות
- ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות
את הפונקציות הטריגונומטריות, עבור זווית בין 0 לזחיזין-90 מעלות ( רדיאנים), מגדירים כיחס בין שתי צלעות במשולש ישר-זווית.
עבור זווית הכלואה בין הניצב והיתר ומול הצלע מוגדר:
- יכ
בישראל משולש ישר-זווית שזוויותיו הן 90, 60, 30 מכונה לפעמים "משולש הזהב", ובו אורך היתר הוא פי 2 מאורך הניצב הקטן. משולש זה הוא חצי ממשולש שווה-צלעות. לרוב השם "משולש הזהב" שמור למשולש שווה-שוקיים בעל זוויות בסיס של 72 או 36 ", לקישורים חיצוניים
- אתר עזר לפתרון תרגילים במשולש ישר-זווית
- משולש ישר-זווית, באתר MathWorld (באנגלית)