תיכון (גאומטריה)

משולש ושלושת התיכונים שלו

בגאומטריית המישור, תיכון במשולש הוא קטע המחבר את הקודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו. התיכון הוא אחת הבניות היסודיות בגאומטריה האוקלידית, לצד הגובה וחוצה הזווית, ונושאם של משפטים ובעיות רבות.

תכונות התיכון

הוכחה ויזואלית לכך שהתיכון במשולש מחלק אותו לשני משולשים שווים בשטחם

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווים בשטחם (כיוון שלשני המשולשים אותו בסיס ואותו גובה).

משפט התיכון קובע שריבוע אורך התיכון m מקיים ${2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}=4m^{2}$, כאשר a היא הצלע שאותה חוצה התיכון, ו-b,c הן הצלעות האחרות.

שלושת המקטעים - התיכון, חוצה הזווית והגובה - מתלכדים כאשר הם יוצאים מקודקוד הראש של משולש שווה-שוקיים, ושונים זה מזה בכל מקרה אחר.

תיכון לצלע במשולש חוצה כל קטע מקביל לצלע זו, שקצותיו הם על שתי הצלעות האחרות.

במשולשים מיוחדים

במשולש ישר-זווית התיכון ליתר שווה למחציתו (ובכך מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שוקיים), ומהווה רדיוס במעגל החוסם את המשולש.

במשולש שווה-שוקיים, התיכונים לשוקיים שווים באורכם. ולהפך: כל משולש שיש לו שני תיכונים שווים הוא שווה-שוקיים.

במשולש שווה-צלעות, שלושת התיכונים שווים באורכם.

מפגש התיכונים

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת (לפי משפט צ'בה). נקודה זו, שהיא הממוצע של שלושת הקודקודים, היא מרכז הכובד של המשולש. נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס של 2:1 (כאשר החלק הארוך ליד הקודקוד והקצר ליד הצלע). הנקודה נמצאת על ישר אוילר.

שלושת התיכונים מחלקים את המשולש לשישה משולשים שווי-שטח.

סיבוב משולש אחד מכל זוג משולשים שלאורך כל אחת מצלעות המשולש, ב-180 מעלות סביב נקודת אמצע הצלע, מניב שלושה משולשים חופפים, אשר אורכי צלעותיהם הם כחלק הארוך של כל אחד משלושת התיכונים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תיכון בוויקישיתוף

• תיכון במשולש, באתר לרגו (LerGO)
• תיכון, באתר MathWorld (באנגלית)