פונקציית התפלגות – הבדלי גרסאות
מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-\[\[(.+)\|\1\]\] +\1) |
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
# ה[[גבול של פונקציה|גבול]] <math>\ \lim_{a \rightarrow \infty} F_X(a)</math> שווה ל-1. |
# ה[[גבול של פונקציה|גבול]] <math>\ \lim_{a \rightarrow \infty} F_X(a)</math> שווה ל-1. |
||
# הפונקציה [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית עולה]] (במובן החלש), כלומר <math>\ F_X(a) \leq F_X(b)</math> לכל <math>\ a \leq b</math>. |
# הפונקציה [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית עולה]] (במובן החלש), כלומר <math>\ F_X(a) \leq F_X(b)</math> לכל <math>\ a \leq b</math>. |
||
# הפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה מימין]]. |
# הפונקציה [[פונקציה רציפה|רציפה (במקרה הבדיד רציפה מימין) ]]. |
||
ולהיפך: אם F היא [[פונקציה ממשית|פונקציה]] המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת ל[[אלגברת בורל]] על הממשיים. עם זאת, מכיוון שה[[קטע (אנליזה)|קטעים]] יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות <math>\ a < X < b</math>. ואכן, אם דורשים ש- <math>\ \operatorname{Pr}(X \leq a) = F(a)</math>, נובע שהגבול משמאל <math>\ \lim_{x \rightarrow b^{-}} F(b)</math> שווה להסתברות <math>\ \operatorname{Pr}(X<b)</math>. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה <math>\ a < X < b</math>, |
ולהיפך: אם F היא [[פונקציה ממשית|פונקציה]] המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת ל[[אלגברת בורל]] על הממשיים. עם זאת, מכיוון שה[[קטע (אנליזה)|קטעים]] יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות <math>\ a < X < b</math>. ואכן, אם דורשים ש- <math>\ \operatorname{Pr}(X \leq a) = F(a)</math>, נובע שהגבול משמאל <math>\ \lim_{x \rightarrow b^{-}} F(b)</math> שווה להסתברות <math>\ \operatorname{Pr}(X<b)</math>. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה <math>\ a < X < b</math>, |
גרסה מ־00:30, 22 במאי 2017
בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.
תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים
אם X משתנה מקרי, הפונקציה מקיימת בהכרח ארבע תכונות:
- הגבול שווה ל-0.
- הגבול שווה ל-1.
- הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר לכל .
- הפונקציה רציפה (במקרה הבדיד רציפה מימין) .
ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות . ואכן, אם דורשים ש- , נובע שהגבול משמאל שווה להסתברות . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה , , ו- .
בפרט נובע ש-, כך שהסיכוי למאורעות הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f: