הלמה של בורל-קנטלי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20. המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי

יהי $(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ מרחב הסתברות, ותהי $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא,

$$\left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}$$

.

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי

אם מתקיים כי $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)<\infty$, אז $\mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=0$

הלמה השנייה של בורל-קנטלי

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים. אם מתקיים כי $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\infty$, אז $\mathbb {P} \left(\limsup _{i}A_{i}\right)=1$.

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע $\limsup _{i}\left(A_{i}\right)$ הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset ...$. נשים לב כי במקרה זה, $\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\left\{\exists _{j},A_{j}{\text{ occures}}\right\}$. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים $\left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ שעבורה $\sum _{k=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i_{k+1}}\mid A_{i_{k}}^{c}\right)=\infty$.

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות $A_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]$ במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על $\left[0,1\right]$. מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן $\ A_{i}$ גורר את $\ A_{j}$ לכל $i<j$. ואכן, למרות שמתקיים $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\infty$, עדיין $\mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=\mathbb {P} \left(\left\{0\right\}\right)=0$.

ראו גם

• משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
• מספר נורמלי