מספר ריילי

במכניקת הזורמים, מספר ריילי (Ra) הוא פרמטר חסר ממדים, המקושר לזרימה המונעת על ידי כוח הציפה, בתהליך הנקרא הסעה טבעית או חופשית. הפרמטר מאפיין את משטר הזרימה של הזורם: ערך שלו המצוי במנעד ערכים נמוך יחסית מעיד על זרימה למינרית, בעוד שערך המצוי במנעד גבוה יותר מעיד על זרימה טורבולנטית. מתחת לערך מסוים, לא נוצרת כלל תנועת זורם ומעבר החום נעשה באמצעות הולכה בלבד.

מספר ריילי מוגדר כמכפלה של מספר גרסהוף, המאפיין את היחס בין ציפה לצמיגות בזורם, במספר פרנטל, המתאר את היחס בין דיפוזיית התנע לדיפוזיה תרמית. לפיכך ניתן לחשוב עליו גם כעל מכפלת היחס בין כוח הציפה לכוח הצמיגות ביחס בין קצב דיפוזיית התנע לדיפוזיה התרמית.

גזירה

מספר ריילי מתאר את ההתנהגות של זורמים (כמו מים או אוויר) כאשר צפיפות המסה של הזורם היא לא אחידה. ההבדלים בצפיפות המסה נגרמים בדרך כלל על ידי הבדלי טמפרטורה. לרוב, זורם מתפשט ונעשה קל יותר כאשר הוא מחומם. הכבידה גורמת לחלקים הצפופים יותר של הזורם לשקוע ולחלקים הצפופים פחות לצוף מעלה, במה שנקרא הסעה חופשית. לורד ריילי חקר את סוג ההסעה הנקרא הסעת ריילי-בנארד. כאשר מספר ריילי, Ra, הוא מתחת לערך מסוים עבור זורם נתון, לא מתקבלת זרימה כלל ומעבר החום נעשה דרך הולכה טהורה; כאשר ערכו עולה על הערך הזה, מתחילה להתפתח הסעה טבעית של הזורם.

כאשר הבדלי צפיפות המסה נגרמים כתוצאה מהבדלי טמפרטורה אז מספר ריילי הוא, על פי הגדרה, היחס בין קנה המידה הזמני של הולכת החום (דיפוזיה תרמית) לקנה המידה הזמני של הסעה תרמית במהירות $u$:

$\mathrm {Ra} ={\frac {\mbox{time scale for thermal transport via diffusion}}{{\mbox{time scale for thermal transport via convection at speed}}~u}}.$

בעבור נפח זורם בגודל אופייני $l$ בכל שלושת הממדים המרחביים, ובעל הבדל צפיפות מסה $\Delta \rho$, הכוח הפועל עליו עקב שילוב כוח הכבידה וכוח הציפה הוא מסדר גודל של $\Delta \rho l^{3}g$ כאשר $g$ היא תאוצת הכבידה. מחוק סטוקס עולה, כי כאשר נפח בקרה של זורם שוקע, הגרר הצמיגי הפועל עליו הוא מסדר גודל של $\eta lu$, כאשר $\eta$ היא הצמיגות הקינמטית של הזורם. כאשר שני הכוחות הללו משתווים זה לזה, מהירות ההסעה המתקבלת היא $u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta$. לפיכך קנה מידה הזמני להסעת חום הוא (במילים אחרות, משך הזמן שנפח בקרה של הזורם משלים סירקוציה מלאה) מסדר גודל של $l/u\sim \eta /\Delta \rho lg$. קנה המידה הזמני להולכת חום לעומק $l$ לתוך הזורם הוא $l^{2}/\alpha$, כאשר $\alpha$ הוא היחס בין מקדם הולכת החום למכפלת צפיפות המסה בקיבול החום הסגולי בלחץ קבוע של הזורם. לפיכך, מספר ריילי Ra הוא:

$\mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}$

כאשר למעשה הערכנו בצורה מקורבת את הבדל הצפיפות להיות $\Delta \rho =\rho \beta \Delta T$, כאשר $\rho$ היא צפיפות המסה הממוצעת של הזורם, $\beta$ הוא מקדם ההתפשטות התרמית ו-$\Delta T$ הוא הפרש הטמפרטורות לאורך המרחק האופייני $l$.

מספר ריילי ניתן לכתיבה גם כמכפלה של מספר גרסהוף ומספר פרנטל:

$\mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .$.