משוואת יאנג-לפלס

השפעה של עמוד קפילרי. בעמודה מימין: כספית. בעמודה משמאל: מים.

בפיזיקה, משוואת יאנג-לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית בלתי-ליניארית המתארת את הפרש הלחץ הקפילרי בין שני זורמים סטטיים, כמו אוויר או מים, עקב תופעת מתח פנים או היווצרות מאמץ היקפי בגליל דק דופן. משוואת יאנג-לפלס קושרת בין הפרש הלחץ לבין צורת הממשק בין הזורמים ובעלת חשיבות בסיסית בחקר משטחים קפילריים סטטיים. זהו מאזן בין מאמצים נורמליים הפועלים על הזורם הסטטי בעת מפגש עם משטח השקה, כאשר מתייחסים לעובי משטח ההשקעה כאל משטח בעל עובי אפסי.

{\begin{aligned}\Delta p&=-\gamma \nabla \cdot {\hat {n}}\\&=2\gamma H\\&=\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)\end{aligned}}

כאשר:

$\Delta p$ הוא הפרש הלחץ לאורך משטח ההשקעה
γ הוא מתח הפנים
${\hat {n}}$ הוא וקטור יחידה המצביע אל מחוץ למשטח
$H$ הוא עקמומיות ממוצעת
$R_{1}$ ו- $R_{2}$ הם רדיוסי העקמומיות הראשיים

יש לשים לב לכך שרק המאמץ הנורמלי נלקח בחשבון במשוואה, שכן קיום הממשק הסטטי אפשרי רק בהיעדר מאמצים משיקים^[1].

המשוואה קרויה על שמם של תומאס יאנג, שפיתח את תאוריית מתח הפנים באופן איכותי בשנת 1805, ופייר-סימון לפלס, שהשלים את התיאור המתמטי כשנה לאחר מכן. לעיתים המשוואה נקראת גם משוואת יאנג-לפלס-גאוס, שכן קרל פרידריך גאוס איחד את עבודתם של יאנג ולפלס בשנת 1830 ופיתח את המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי השפה המתאימים תוך שימוש בעקרון העבודה הווירטואלית של יוהאן ברנולי^[2].

היסטוריה

פרנסיס האקסבי ביצע כמה מהתצפיות והניסויים הראשונים שתועדו ב-1709^[3]. הניסויים בוצעו שוב ב-1718 על ידי ג'יימס ג'ורין אשר הבחין כי גובה הנוזל בעמוד קפילרי נקבע רק על ידי שטח החתך של המשטח, ולא על ידי שום מידה אחרת של העמוד.^[4]^[5]

תומאס יאנג הניח את אבן הפינה של המשוואה במאמר שפרסם ב-1805 שעסק בקוהזיה של נוזלים^[6]. במאמר תיאר יאנג את העקרונות המרכזיים השולטים בהתנהגות החומר בעת מגע בין נוזלים (בנוסף, תיאר יאנג במאמר את התנהגות הנוזל בהיבטים רבים אחרים). פייר-סימון לפלס עקב אחר עבודתו^[7] ושיחזר בתורו תיאור סמלי של יחסי הגומלין שתואר עוד קודם לכן על ידי יאנג.

לפלס קיבל את הרעיון שהוצג על ידי האקסבי בספרו: (Physico-mechanical Experiments (1709 בו טען שכוח המשיכה משמעותי רק במרחקים אינפיטיסימליים קטנים^[8]^[9]. החלק שמתעסק במוצק על נוזל והפעולה ההדדית של שני נוזלים לא נפתר באופן יסודי, אבל בסופו של דבר נפתר על ידי גאוס^[10]. בשלב מאוחר יותר תרם פרנץ ארנסט ניומן (1798-1895) מס' פרטים נוספים להשלמת התמונה^[5]^[11]^[12].

שכבות סבון דקות

אם הפרש הלחצים לאורך המשטח הוא אפס כמו שמתרחש בשכבת סבון דקה ללא גרביטציה, הממשק יקבל את צורת המשטח המינימלי האפשרי.

יש לשים לב שמצב זה איננו נכון עבור בועות סבון, כיוון שהנפח הפנימי של הבועה תחום במעטפת סגורה ובעל לחץ השונה מלחץ הסביבה.

תחליבים

המשוואה מסבירה גם את האנרגיה הדרושה ליצירת תחליב.

ליצירת טיפות קטנות ומעוגלות מאוד האופייניות בתחליבים, דרושה אנרגיה נוספת על מנת להתגבר על הלחצים הגדולים הנוצר כתוצאה מהרדיוס הקטן שלהן.

לחץ קפילרי בצינור

בצינור צר מספיק (כלומר במס' בונד קטן) בעל חתך מעגלי (רדיוס a) הממשק בין שני זורמים יוצר צורת סהרון המהווה חלק ממשטח ספירה בעלת רדיוס R. עליית הלחץ לאורך המשטח מבוטאת ע"י:

$\Delta p={\frac {2\gamma }{R}}.$

ניתן להראות זאת על ידי כתיבת משוואת יאנג-לפלס בצורתה הכדורית (ספרית) עם תנאי שפה של נקודת מגע ותנאי שפה של גובה הנקבע נניח, בתחתית הסהרון. הפתרון למשוואה הוא חלק מספירה, והפתרון יתקיים רק עבור הפרש הלחץ שהוזכר לעיל. זהו פתרון משמעותי כיוון שלא קיימת משוואה אחרת או חוק המציינים את הפרש הלחצים. קיום של פתרון ספציפי עבור הפרש הלחצים קובע אותו.

רדיוס הספירה יהיה פונקציה של זווית המגע, θ, שתלויה בעצמה במאפיינים של הנוזלים או המוצקים שמגע:

$R={\frac {a}{\cos \theta }}$

כעת הפרש הלחצים יבוטא ע"י:

$\Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.$

על מנת לשמור על שיווי משקל הידרוסטטי, הלחץ הקפילרי המושרה מאוזן על ידי שינוי בגובה h, שיכול להיות שלילי או חיובי, כתלות בזווית ההרטבה שיכולה להיות גדולה או קטנה מ90°. עבור נוזל בעל צפיפות ρ:

$h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho ga}}.$

כאשר g זוהי תאוצת הכובד. זה ידוע גם כגובה ג'ורין או חוק ג'ורין^[13] - על שם ג'יימס ג'ורין שלמד את האפקט ב-1718.^[4] עבור שפופרת (צינור) זכוכית מלאה במים המצויה באוויר ובלחץ אטמוספירי:

γ = 0.0728 J/m² at 20 °C	(θ = 20° (0.35 rad
ρ = 1000 kg/m³	g = 9.8 m/s²

יתקבל כי גובה עמוד המים:

$h\approx {{1.4\times 10^{-5}} \over a}m$

כלומר עבור שפופרת בקוטר 2 מ"מ (הרדיוס 1 מ"מ), עמוד המים יגבה ב14 מ"מ. לעומת זאת, בשפופרת קפילרית ברדיוס 0.1 מ"מ - עמוד המים יגבה ב14 ס"מ. מתקבל כי בהקטנת הקוטר פי 10, גדל עמוד הנוזל פי 10.

למעשה, ניתן להכליל ולומר כי תחת שמירה על אותם תנאי סביבה וחומרים - מתקיים קשר ליניארי הפוך בין קוטר הצינור לגובה עמוד המים המתקבל.

פעולה קפילרית בהכללה

הדמיה של עלייה קפילרית. באדום - זווית המגע קטנה מ90°. בכחול - זווית המגע גדולה מ90°.

במקרה הכללי, עבור משטח חופשי וכאשר מופעל לחץ מספק Δp עבור ממשק המצוי בשיווי משקל, קיים איזון בין הלחץ המופעל, הלחץ ההידרוסטטי ואפקטים של מתח פנים. משוואת יאנג לפלס במקרה זה -

$\Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)$

המשוואה יכולה להיות בצורה אל-ממדית במובן של סקלת אורך אופיינית, האורך הקפילרי:

$L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}$

הלחץ האופייני:

$p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}$

עבור מי-שתייה בטמפ' החדר ובלחץ אטמוספירי האורך הקפילרי המתקבל הוא ~ 2 מ"מ.

המשוואה האל-ממדית במקרה זה:

$h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right)$

לפיכך, צורת המשטח נקבעת על ידי פרמטר אחד בלבד, לחץ-היתר של הנוזל ^*Δp והסקאלה של המשטח הניתנת על ידי האורך הקפילרי. הפתרון עבור משוואה זאת דורש תנאי התחלה עבור מיקום, וגרדיאנט המשטח בנקודת ההתחלה.

משוואות אקסי-סימטריות

הצורה של המשטח האקסימסימטרי וחסר הממדים (r(z יכולה להתקבל על ידי החלפת ביטויים כלליים של עקמומיות ובכך קבלת הצורה ההידרוסטטית של משוואות יאנג-לפלס^[14]:

${\frac {r''}{(1+r'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}$

${\frac {z''}{(1+z'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{\frac {1}{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r)$

יישומים ברפואה

ברפואה ישנה התייחסות לתופעה כחוק לפלס, והחוק משמש במחקרים בנושא קרדיולוגיה - תנועת הדם בכלי הדם, ופיזיולוגית הנשימה.^[15]

ביבליוגרפיה

[Anon.] (1911) Capillary action, Encyclopædia Britannica
Batchelor, G. K. (1967) An Introduction To Fluid Dynamics, Cambridge University Press
Jurin, J. (1717/1719). "An account of some experiments shown before the Royal Society; with an enquiry into the cause of the ascent and suspension of water in capillary tubes". Philosophical Transactions of the Royal Society 30 (351–363): 739–747. doi:10.1098/rstl.1717.0026. Check date values in: |date= (help)
Tadros T. F. (1995) Surfactants in Agrochemicals, Surfactant Science series, vol.54, Dekker

הערות שוליים

^ Surface Tension Module, by John W. M. Bush, at MIT OCW.
^ Robert Finn (1999). "Capillary Surface Interfaces" (PDF). AMS.
^ - Francis Hauksbee, Physico-mechanical Experiments on Various Subjects … (London, England: (Self-published by author; printed by R. Brugis), 1709), pages 139–169. - Francis Hauksbee (1711) "An account of an experiment touching the direction of a drop of oil of oranges, between two glass planes, towards any side of them that is nearest press'd together," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 27 : 374–375. - Francis Hauksbee (1712) "An account of an experiment touching the ascent of water between two glass planes, in an hyperbolick figure," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 27 : 539–540.
^ ¹ ² -James Jurin (1718) "An account of some experiments shown before the Royal Society; with an enquiry into the cause of some of the ascent and suspension of water in capillary tubes," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 30 : 739–747. -James Jurin (1719) "An account of some new experiments, relating to the action of glass tubes upon water and quicksilver," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 30 : 1083–1096.
^ ¹ ² [Anon.] (1911) Capillary action, Encyclopædia Britannica
^ Thomas Young (1805) "An essay on the cohesion of fluids," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95 : 65–87.
^ Pierre Simon marquis de Laplace, Traité de Mécanique Céleste, volume 4, (Paris, France: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste,pages 1–79.
^ Pierre Simon marquis de Laplace, Traité de Mécanique Céleste, volume 4, (Paris, France: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste. On page 2 of the Supplément, Laplace states that capillary action is due to "… les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distances insensibles; …" (… the laws in which attraction is sensible [significant] only at insensible [infinitesimal] distances …).
^ In 1751, Johann Andreas Segner came to the same conclusion that Hauksbee had reached in 1709: J. A. von Segner (1751) "De figuris superficierum fluidarum" (On the shapes of liquid surfaces), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis(Memoirs of the Royal Scientific Society at Göttingen), 1 : 301–372. On page 303, Segner proposes that liquids are held together by an attractive force (vim attractricem) that acts over such short distances "that no one could yet have perceived it with their senses" (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit.).
^ Carl Friedrich Gauss, Principia generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii[General principles of the theory of fluid shapes in a state of equilibrium] (Göttingen, (Germany): Dieterichs, 1830). Available on-line at: Hathi Trust.
^ Franz Neumann with A. Wangerin, ed., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Lectures on the theory of capillarity] (Leipzig, Germany: B. G. Teubner, 1894).
^ Rouse Ball, W. W. [1908] (2003) "Pierre Simon Laplace (1749–1827)", in A Short Account of the History of Mathematics, 4th ed., Dover, [[:en:Special:BookSources/0486206300|ISBN 0-486-20630-0]]
^ "Jurin rule". McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms. McGraw-Hill on Answers.com. 2003. Retrieved 2007-09-05.
^ Lamb, H. Statics, Including Hydrostatics and the Elements of the Theory of Elasticity, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1928.
^ Basford, J R The Law of Laplace and its relevance to contemporary medicine and rehabilitation Archives of Physical Medicine and Rehabilitation Volume 83, Issue 8, August 2002, Pages 1165–1170 DOI: 10.1053/apmr.2002.33985]

[1] Surface Tension Module, by John W. M. Bush, at MIT OCW.

[2] Robert Finn (1999). "Capillary Surface Interfaces" (PDF). AMS.

[3] - Francis Hauksbee, Physico-mechanical Experiments on Various Subjects … (London, England: (Self-published by author; printed by R. Brugis), 1709), pages 139–169. - Francis Hauksbee (1711) "An account of an experiment touching the direction of a drop of oil of oranges, between two glass planes, towards any side of them that is nearest press'd together," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 27 : 374–375. - Francis Hauksbee (1712) "An account of an experiment touching the ascent of water between two glass planes, in an hyperbolick figure," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 27 : 539–540.

[:0-4] ¹ ² -James Jurin (1718) "An account of some experiments shown before the Royal Society; with an enquiry into the cause of some of the ascent and suspension of water in capillary tubes," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 30 : 739–747. -James Jurin (1719) "An account of some new experiments, relating to the action of glass tubes upon water and quicksilver," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 30 : 1083–1096.

[:1-5] ¹ ² [Anon.] (1911) Capillary action, Encyclopædia Britannica

[6] Thomas Young (1805) "An essay on the cohesion of fluids," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95 : 65–87.

[7] Pierre Simon marquis de Laplace, Traité de Mécanique Céleste, volume 4, (Paris, France: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste,pages 1–79.

[8] Pierre Simon marquis de Laplace, Traité de Mécanique Céleste, volume 4, (Paris, France: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste. On page 2 of the Supplément, Laplace states that capillary action is due to "… les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distances insensibles; …" (… the laws in which attraction is sensible [significant] only at insensible [infinitesimal] distances …).

[9] In 1751, Johann Andreas Segner came to the same conclusion that Hauksbee had reached in 1709: J. A. von Segner (1751) "De figuris superficierum fluidarum" (On the shapes of liquid surfaces), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis(Memoirs of the Royal Scientific Society at Göttingen), 1 : 301–372. On page 303, Segner proposes that liquids are held together by an attractive force (vim attractricem) that acts over such short distances "that no one could yet have perceived it with their senses" (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit.).

[10] Carl Friedrich Gauss, Principia generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii[General principles of the theory of fluid shapes in a state of equilibrium] (Göttingen, (Germany): Dieterichs, 1830). Available on-line at: Hathi Trust.

[11] Franz Neumann with A. Wangerin, ed., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Lectures on the theory of capillarity] (Leipzig, Germany: B. G. Teubner, 1894).

[12] Rouse Ball, W. W. [1908] (2003) "Pierre Simon Laplace (1749–1827)", in A Short Account of the History of Mathematics, 4th ed., Dover, [[:en:Special:BookSources/0486206300|ISBN 0-486-20630-0]]

[13] "Jurin rule". McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms. McGraw-Hill on Answers.com. 2003. Retrieved 2007-09-05.

[14] Lamb, H. Statics, Including Hydrostatics and the Elements of the Theory of Elasticity, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1928.

[15] Basford, J R The Law of Laplace and its relevance to contemporary medicine and rehabilitation Archives of Physical Medicine and Rehabilitation Volume 83, Issue 8, August 2002, Pages 1165–1170 DOI: 10.1053/apmr.2002.33985]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]