זווית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, בהינתן שני ישרים שחותכים זה את זה, הזווית בין שני הישרים מודדת את כמות הסיבוב שאחד הישרים צריך לבצע סביב נקודת החיתוך על מנת שיגיע למקומו של הישר השני. שתי יחידות המדידה המקובלות ביותר לזווית הן מעלות (המסומנות על ידי מעגל קטן עילי, °) ורדיאנים (שלרוב אינם מסומנים בסימון מיוחד).

במדידה במעלות, נבחר באופן שרירותי (למחצה) סיבוב שלם של ישר סביב עצמו כזווית של 360°.‏[1]

כל אחד משני הישרים היוצרים את הזווית קרוי קרן, ונקודת המפגש שלהם היא קודקוד הזווית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הזווית בין שתי קרניים נקבעת על ידי מעגל שמרכזו בנקודת החיתוך שלהם, ושווה ליחס בין אורך הקשת החסומה בין הישרים לבין רדיוס המעגל. יחס זה אינו תלוי ברדיוס המעגל. מכיוון שהזווית היא יחס, היא מהווה גודל סקלרי, חסר מימד.

סיבוב ישר סביב צירו יוצרת מעגל שלם, ולכן הזווית בין קרן לעצמה שווה להיקף מלא של מעגל חלקי אורך הרדיוס שלו, שהוא \ 2 \pi רדיאנים.

המדידה ברדיאנים היא "טבעית" יותר מאשר מדידה במעלות, שכן מעלות הם גודל שנבחר שרירותית, ואילו רדיאנים מייצגים יחס אמיתי שמתקיים בפועל בין הקשת הנמתחת בין שני ישרים ובין אורכם. על כן, לעתים קרובות שימוש ברדיאנים בחישובים הוא נוח ויעיל יותר משימוש במעלות (לדוגמה, הגבול של sin(x)/x כאשר x שואף ל-0 הוא 1, אם מבטאים את הזווית ברדיאנים; אך אם הזווית מבוטאת במעלות, הגבול הוא \pi/180).

מדידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מנת למדוד במדויק את הזווית בין שני ישרים, בונים מעגל בעל רדיוס שרירותי כך שמרכזו בנקודת החיתוך של שני הישרים, ובוחנים את הקשת שבין שני הרדיוסים הנחים על הישרים. הזווית, ברדיאנים, מוגדרת להיות היחס שבין אורך הקשת ובין אורך הרדיוס של המעגל. גודל זה אינו תלוי ברדיוס שנבחר.

למדידה של זוויות משמש מד זווית - כלי דמוי חצי עיגול שעליו מסומנים גודלי הזוויות. בדומה לכלי מדידה אחרים, כלי זה אינו משמש בגאומטריה, שבה נעשה שימוש בסרגל ובמחוגה בלבד.

סוגי זוויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סוגי זוויות

זווית בודדת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • זווית מנוונת – זווית בת 0°.
  • זווית ישרה – זווית בת 90°. במקרה זה כל אחד מן הישרים נקרא אנך.
  • זווית חדה – זווית הקטנה מזווית ישרה (וגדולה מ-0°).
  • זווית קהה – זווית הגדולה מזווית ישרה וקטנה מזווית שטוחה (ראו להלן).
  • זווית שטוחה – זווית בת 180°.
  • זווית נִישָּׂאָה – זווית בת יותר מ-180° אך פחות מ-360°.
  • זווית שלמה – זווית בת 360°.

זוגות של זוויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • זוויות משלימות – זוג זוויות המרכיבות יחד זווית ישרה.[דרוש מקור]
  • זוויות צמודות – זוג זוויות המרכיבות יחד זווית שטוחה.
  • זוויות קודקודיות – זוג זוויות הנמצאות זו מול זו (כלומר, שיש להן קודקוד/נקודה משותפת, אך הן אינן זוויות צמודות), מבין ארבע הזוויות הנוצרות כאשר שני ישרים נחתכים.
  • כאשר ישר אחד חותך שני ישרים מקבילים, נוצרות שמונה זוויות:‏[2]
    • זוויות מתאימות – זוג זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו מקום ביחס לשני המקבילים (מעל הקו המקביל או מתחת הקו המקביל). זוויות מתאימות שוות זו לזו בגודלן.
    • זוויות חד-צדדיות – זוג זוויות מאותו צד של הישר החותך, הנמצאות שתיהן בין שני המקבילים (פנימיות), או שתיהן מחוץ לשני המקבילים (חיצוניות). סכום זוויות חד-צדדיות הוא 180° (כמו זווית שטוחה).
    • זוויות מתחלפות – זוג זוויות משני צדי הישר החותך, הנמצאות שתיהן בין שני המקבילים (פנימיות), או שתיהן מחוץ לשני המקבילים (חיצוניות). זוויות מתחלפות שוות זו לזו.

בעיות הקשורות בזוויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חצייה של זווית (כלומר חלוקתה לשתי זוויות שוות זו לזו), באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, היא בעיית בנייה פשוטה ביותר. טריסקציה של זווית, כלומר חלוקתה לשלוש זוויות שוות, התגלתה כבעיה קשה ביותר. אף שהבעיה הוצגה כבר ביוון העתיקה, הרי שרק במאה ה-19 נמצאה הוכחה שלבעיה זו אין פתרון.

על זוויות במצולע ראו בערך מצולע.

הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות הפועלות על זוויות. הטריגונומטריה, העוסקת בפונקציות אלה, כוללת משפטים רבים העוסקים בקשרים בין זוויות שונות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]