משפט בוהר-מולרופ

באנליזה מתמטית, משפט בוהר מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא באמצעות משוואה פונקציונלית. המשפט קרוי על שם הארלד בוהר ויוהאנס מולרופ שהוכיחו אותו.

לפי המשפט, פונקציית גמא היא הפונקציה הלוג-קמורה היחידה שמקיימת $f(x+1)=xf(x)$ לכל x>0 וכן מקיימת $f(1)=1$.

הוכחה

ראשית נבחין שמתקיים $\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt=1$. כמו כן מאינטגרציה בחלקים נקבל כי $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ .

על מנת להראות שפונקציית גאמא היא לוג קמורה נקבע קבועים $0<\delta <\Delta$. מאי שוויון קושי שוורץ נקבל:

${(\int _{\delta }^{\Delta }{t^{{x+y-2} \over {2}}e^{-t}dt})}^{2}={(\int _{\delta }^{\Delta }{(t^{{x-1} \over {2}}e^{{-t} \over {2}})(t^{{y-1} \over {2}}e^{{-t} \over {2}})dt})}^{2}\leq {\int _{\delta }^{\Delta }{t^{x-1}e^{-t}dt}\int _{\delta }^{\Delta }{t^{y-1}e^{-t}dt}}$

כאשר נשאיף בנוסחה $\delta \rightarrow 0,\Delta \rightarrow \infty$נקבל $\Gamma ^{2}({{x+y} \over {2}})\leq \Gamma (x)\Gamma (y)$.

נוציא לוג ונקבל כי $\ln(\Gamma ({{x+y} \over {2}}))\leq {{1} \over {2}}\ln(\Gamma (x))+{{1} \over {2}}\ln(\Gamma (y))$ וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.

בכיוון השני, תהי f פונקציה המקיימת את הדרישות של המשפט. נוכיח שהיא יחידה.

מהדרישה $f(x+1)=xf(x)$ נקבל באינדוקציה כי $f(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)$. בפרט לכל n טבעי נקבל $f(n)=(n-1)!$ (כי נתון ש-$f(1)=1$).

נסמן ב $S(x,y)$את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות $(x,\ln(f(x))),(y,\ln(f(y)))$. לפי ההנחה f לוג קמורה, ולכן S היא עולה בכל אחד משני המשתנים עבור x<y. לכן לכל $0<x\leq 1$ ולכל n מס טבעי נקבל:

$S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)$.

${\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n-1))}{n-(n-1)}}\leq {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n+x))}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\ln(f(n))-\ln(f(n+1))}{n-(n+1)}}$

נציב את הערך של f למספרים טבעיים:

${\frac {\ln((n-1)!)-\ln((n-2)!)}{1}}\leq {\frac {\ln(f(n+x))-\ln((n-1)!)}{x}}\leq {\frac {\ln((n)!)-\ln((n-1)!)}{1}}$

לאחר חישוב מקבלים:

$\ln {({(n-1)}^{x}(n-1)!)}\leq \ln {(f(n+x))}\leq \ln {({n}^{x}(n-1)!)}$

ln היא פונקציה עולה לכן נוכל לבצע אקספוננט ולקבל:

${(n-1)}^{x}(n-1)!\leq f(n+x)\leq {n}^{x}(n-1)!$

נציב את הביטוי שקיבלנו עבור $f(n+x)$ונקבל:

${(n-1)}^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)xf(x)\leq {n}^{x}(n-1)!$

${\frac {{(n-1)}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}$

${\frac {{(n-1)}^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}({\frac {x+n}{n}})$

נשים לב כעת ששני האי שוויונים נכונים לכל ערך של n. בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן אם נחליף באי שוויון השמאלי את n ב n+1 האי שוויונות יישארו נכונים ונקבל:

${\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}\leq f(x)\leq {\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}({\frac {x+n}{n}})$

נשאיף את n לאינסוף. מתקיים ${\frac {x+n}{n}}\rightarrow 1$ולכן הגבול של ${\frac {{n}^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)...(x+1)x}}$ חסום משני הצדדים על ידי סדרה ששואפת ל $f(x)$ וממשפט הסנדוויץ' מתכנס אליו.

הואיל והגבול הוא יחיד, f מוגדרת ביחידות לכל $0<x\leq 1$. אבל מהדרישה $f(x+1)=xf(x)$רואים שאפשר להרחיב את f באופן יחיד לכל x>1. לכן יש f יחידה כזאת ונסיים.

תוצאות נוספות

המתמטיקאי Wielandt הוכיח כי פונקציית גאמא היא הפונקציה ההולומורפית בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים חסימות ברצועה $1\leq \Re (z)<2$.

קישורים חיצוניים

• משפט בוהר-מולרופ, באתר MathWorld (באנגלית)
• משפט בוהר-מולרופ, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• מספר הוכחות ללוג קמירות של פונקציית גאמא באתר ProofWiki: