אי-שוויון קושי-שוורץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אי-שוויון קושי-שוורץ הוא אי-שוויון הקושר את המכפלה הפנימית והנורמה במרחבי מכפלה פנימית. מכיוון שמרחבים וקטוריים רבים מצוידים במכפלה פנימית טבעית, יש לאי-השוויון של קושי-שוורץ שימושים בתחומים שונים של המתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה הראשונה של אי-השוויון, אותה גילה אוגוסטין קושי ב- 1821, קובעת ש- כאשר הם מספרים ממשיים. לאי-שוויון יסודי זה ידועות היום עשרות רבות של הוכחות. קושי הוכיח גם ששויון מתקיים רק כאשר הווקטורים ו- פרופורציוניים זה לזה.

ב- 1859 הציג ויקטור יקובלביץ' בוניקובסקי (1804-1889) את הגרסה האינטגרלית של אי-השוויון: . בוניקובסקי לא ראה צורך בהוכחה נפרדת של אי-השוויון החדש, והסתפק בציטוט אי-השוויון של קושי.

ב-1885 הזדקק הרמן שוורץ, שישב אז באוניברסיטת גטינגן, לאי-השוויון , המשווה בין אינטגרלים כפולים. מאוחר יותר הובנו שלושה אי-שוויונות אלה כמקרים פרטיים של הגרסה הכללית יותר, התקפה בכל מרחב מכפלה פנימית (ראו להלן).

שוורץ לא הכיר את ניסוחו של בוניקובסקי, וההוכחה שהציג לאי-השוויון שלו מתאימה לכל מרחב מכפלה פנימית (הוכחה זו, הנעזרת בתכונות פשוטות של פולינום ריבועי, מובאת בהמשך). משום כך נקרא אי-השוויון הכללי אי שוויון קושי-שוורץ.

אי-השוויון במרחבי מכפלה פנימית, ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בצורתו המודרנית, אי-שוויון קושי שוורץ קובע שאם הוא מרחב מכפלה פנימית (מעל הממשיים או המרוכבים), אז לכל מתקיים

,

כאשר מסמן את הנורמה המושרית על מן המכפלה הפנימית.
שוויון ממש מתקיים אם ורק אם תלויים לינארית.

אחת התוצאות החשובות של אי-שוויון זה היא שהוא מאפשר להגדיר זווית בין שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית לפי המשוואה , שהרי שבר זה מהווה מקדם מתאם בין ל- ולכן ערכו נע בין ל- . במקרה של המכפלה הפנימית הסטנדרטית במישור האוקלידי או במרחב התלת-ממדי, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקובלת של זווית.

בין המקרים הפרטיים של אי-השוויון, ניתן למצוא את הטענות

ו-

המתקבלות מן המקרים ו- (המרחב L2) עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית בכל מקרה.

הוכחת אי-השוויון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם אחד הווקטורים שווה ל-0, אי השוויון מתקיים באופן טריוויאלי כי שני האגפים שווים לאפס. לכן נניח כי .

כעת יהא כלשהו. ההוכחה מתאימה גם למקרה שבו מרחב המכפלה הפנימית V הוא מרחב וקטורי ממשי, וגם למקרה שבו הוא מרוכב.

נפתח את הביטוי . פיתוח ביטוי זה יתן לנו משוואה ריבועית ב-, ומכיוון שאנו יודעים שערך הביטוי תמיד גדול או שווה לאפס, נוכל להסיק מכך שהדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית קטנה או שווה לאפס. מאי השוויון המתקבל נפיק את אי שוויון קושי-שוורץ.

פיתוח הביטוי:

קיבלנו פולינום ריבועי במקדמים ממשיים במשתנה , שערכו תמיד גדול או שווה לאפס.

פירוש הדבר הוא שהדיסקרימיננטה של הביטוי תמיד קטנה או שווה לאפס (הפרבולה שמיוצגת על ידי המשוואה לכל היותר נוגעת בציר אך אינה עוברת מתחתיו, ולכן יש למשוואה פתרון אחד לכל היותר).

על כן, נקבל מחישוב הדיסקרימיננטה:

.

אם אי שוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן טריוויאלי (כי אגף ימין בו תמיד חיובי או אפס). לכן נניח כי , נעביר אגפים ונחלק ב-.

נקבל:

.

הוצאת שורש ריבועי משני האגפים נותנת לנו את אי שוויון קושי-שוורץ.

הוכחה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו שני וקטורים במרחב מכפלה פנימית, ונוכיח את אי-השוויון. אם או , ברור כי מתקיים שוויון. נניח מעתה וכן . נגדיר את הווקטור באופן הבא: . נשים לב כי ניצב ל-: שני וקטורים הם ניצבים אם ורק אם המכפלה הפנימית ביניהם היא אפס. במקרה זה:

מכאן, נחשב את :

ומכאן:

כלומר, הראינו כי

ומכאן:

או .

(הוכחה זו תקפה רק עבור מרחבי מכפלה פנימיים מעל )

אי שוויון המשולש[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי שוויון המשולש במרחבים נורמיים בהם הנורמה מושרית ממרחב מכפלה פנימית, נובע מאי שוויון קושי-שוורץ:

לפי הגדרת הנורמה במרחבי מכפלה פנימית:

נפתח את הביטוי על ידי שימוש בתכונות המכפלה הפנימית ונקבל:

בשני האגפים מופיע מספר אי-שלילי שהועלה בריבוע, ולכן ניתן להוציא שורש:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]