משפט גאוס-בונה

משפט גאוס-בונה (או נוסחת גאוס-בונה) הוא משפט יסודי בגאומטריה דיפרנציאלית, הקושר בין הגאומטריה והטופולוגיה של משטחים. לפי המשפט, האינטגרל על העקמומיות של המשטח שווה תמיד למאפיין אוילר שלו. המשפט קרוי על שם קרל פרידריך גאוס, שפיתח גרסה אך מעולם לא פרסם אותה, ופייר אוסיאן בונה שפרסם מקרה פרטי של המשפט ב-1848.

המשפט

תהי M יריעה רימנית קומפקטית דו-ממדית. נסמן ב-K את עקמומיות גאוס של המשטח.

אם למשטח ישנה שפה $\partial M$, נסמן ב-$k_{g}$ את העקמומיות הגאודזית של השפה. אז $\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,$, כאשר dA הוא אלמנט השטח של המשטח, $\chi (M)$ הוא מאפיין אוילר (שהוא תמיד מספר שלם), ו- ds הוא אלמנט האורך של השפה.

במקרה שהשפה חלקה למקוטעין, אזי נפרש את האינטגרל $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ כסכום האינטגרלים המתאימים לאורך החלקים החלקים של השפה, בתוספת סכום הזוויות בפינות. כאשר מפרשים בצורה זו את האינטגרל הקווי, ניתן לראות בבירור כיצד המשפט מכליל תוצאות רבות שקדמו לו; משפט ז'יראר ומשפט דאקרט על פאונים הם תוצאות מיידיות מן המשפט.

אם המשטח נטול שפה, אזי האינטגרל $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ מתאפס, ובכך מתקיים: $\int _{M}K\;dA=2\pi \chi (M),\,$. כלומר, המשפט קובע שעקמומיות גאוס הכוללת של משטח סגור שכזה שווה ל-$2\pi$ כפול מאפיין אוילר של המשטח. אם המשטח הוא גם בר-כיוון (אוריינטבילי), אז מאפיין אוילר שלו שווה ל-$2-2g$, כאשר g הוא הגנוס של המשטח.

דוגמאות והשלכות

הטופולוגיה של משטח רימן קומפקטי אינה מסובכת: מציין אוילר מגדיר את המשטח. עם זאת, על כל מבנה טופולוגי אפשר להשרות את המבנה המטרי באינסוף דרכים. משפט גאוס-בונה מראה שבכל הדרכים האלה אינטגרל העקמומיות הוא קבוע. במילים אחרות (כשאין למשטח שפה), העקמומיות הממוצעת עומדת ביחס הפוך לשטח. לדוגמה, מציין אוילר של כדור הוא 2. עקמומיות-גאוס של כדור נעשית קטנה יותר ככל שהכדור גדל: העקמומיות של כדור ברדיוס R היא $1/R^{2}$. לפי משפט גאוס-בונה, יוצא ששטח הכדור כפול העקמומיות הקבועה הזו שווה תמיד ל-$4\pi$.

הקומפקטיות היא תנאי הכרחי במשפט: לעיגול היחידה הפתוח עקמומיות אפס, ולכן האינטגרל של העקמומיות שווה גם הוא לאפס; אבל לעיגול יש מציין אוילר 1. אכן, אם מוסיפים לכדור הפתוח את השפה שלו, השוויון מתקיים, משום שהאינטגרל על פני עקמומיות השפה הוא $2\pi$.

הטורוס, שמציין אוילר שלו הוא 0, מספק דוגמה חשובה נוספת. אפשר לבנות אותו על ידי זיהוי הצלעות המנוגדות בריבוע, כך שהעקמומיות היא אפס בכל נקודה, וממילא העקמומיות הממוצעת היא אפס. כאן התוצאה אינה מפתיעה. אבל השיכון הטבעי של הטורוס במרחב האוקלידי מספקת לו עקמומיות חיובית בחלק החיצוני, ושלילית בחלק הפנימי. משפט גאוס-בונה מבטיח שאלו מאזנות זו את זו, והעקמומיות הממוצעת היא אפס בכל שיכון אפשרי.

טריאנגולציה של משטחים מספקת למשפט גרסאות קומבינטוריות.

הכללות

משפט רימן-רוך ומשפט האינדקס של אטיה-זינגר מכלילים את משפט גאוס-בונה.

קישורים חיצוניים

• משפט גאוס-בונה, באתר MathWorld (באנגלית)