משפט פסקל

משפט פסקל: שלוש הנקודות המסומנות נמצאות על ישר אחד

משפט פסקל הוא משפט בגאומטריה של המישור, העוסק בנקודות המפגש של שתי שלשות של נקודות. את המשפט הוכיח בלז פסקל ב-1639.

תהיינה 1,2,3,4,5,6 נקודות על חתך חרוט (אליפסה, היפרבולה וכדומה). נשרטט את המשושה 123456, שצלעותיו הן הישרים המחברים את הזוגות 12,23,34,45,56,61. משפט פסקל קובע ששלוש נקודות החיתוך של הצלעות הנגדיות, כלומר $\ 12\cdot 45$, $\ 23\cdot 56$, ו-$\ 34\cdot 61$, נמצאות על ישר אחד. ישר זה נקרא ישר פסקל של המשושה. הוכחתו המקורית של פסקל לא נשתמרה, ומשערים שהיא מבוססת על משפט מנלאוס ביחס למשולש שצלעותיו הן הישרים 12,34,56.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל שש נקודות המקיימות את תנאי פסקל נמצאות על חתך חרוט. היפוך המשפט מאפשר לשרטט חתך חרוט באופן מכני: נקבע ישרים $\ \ell ,\ell '$ ונקודות $\ a,a',p$; אז המקום הגאומטרי של הנקודות $x^{*}=ax\cap a'(\ell '\cap px)$ כאשר $\ x\in \ell$ הוא חתך חרוט, העובר דרך הנקודות $\ a,a',\ell \cap \ell ',\ell \cap pa',\ell '\cap pa$.

הוכחות

למשפט פסקל ישנן הוכחות רבות. חלקן מוכיחות את משפט פסקל למקרה בו השניונית היא מעגל, מכיוון שניתן לעשות העתקה פרויקטיבית ולהפוך את המעגל חזרה לשניונית. למקרה של אליפסה ניתן גם פשוט "למתוח" את המעגל באמצעות העתקה אפינית ולקבל שהמשפט נכון גם לאליפסות.

הוכחה חישובית

ראו גם – משפט מנלאוס, חזקת נקודה

שרטוט ההוכחה

לא נבצע חישובים בגאומטריה אנליטית, אלא חישוב של אורכי קטעים באמצעות משפט מנלאוס וחזקת נקודה. ניעזר במשפט מנלאוס שלוש פעמים, על משולש $MNK$ המופיע באדום בתמונה ועל שלושת הישרים הכחולים בתמונה:

${\frac {KB'}{B'M}}{\frac {MC}{CN}}{\frac {ND}{DK}}=-1$

${\frac {MA'}{A'N}}{\frac {NB}{BK}}{\frac {KF}{FM}}=-1$

${\frac {NC'}{C'K}}{\frac {KA}{AM}}{\frac {ME}{EN}}=-1$

כאשר כל אחד מהנוסחאות היא מהצורה של שבר עם אחד מ-$A',B',C'$, שבר עם אחד מ-$A,B,C$ ושבר עם אחד מ-$D,E,F$. נכפיל אותם זה בזה ונקבל

${\frac {KB'}{B'M}}{\frac {MC}{CN}}{\frac {MA'}{A'N}}{\frac {NB}{BK}}{\frac {NC'}{C'K}}{\frac {KA}{AM}}\cdot {\frac {ND}{DK}}{\frac {KF}{FM}}{\frac {ME}{EN}}=-1$

כאשר המטרה הסופית היא להוכיח ${\frac {ND}{DK}}{\frac {KF}{FM}}{\frac {ME}{EN}}=-1$. אבל נשים לב שמתקיים $AM\cdot B'M=MA'\cdot MC$ מחזקת נקודה, ונוסחאות דומות עבור $N,K$ מראות כי

${\frac {MC\cdot MA'}{AM\cdot B'M}}\cdot {\frac {NB\cdot NC'}{CN\cdot A'N}}\cdot {\frac {KA\cdot KB'}{BK\cdot C'K}}=1$

וזה מסיים את ההוכחה.

הוכחה באמצעות הצמדה איזוגונלית

ראו גם – הצמדה איזוגונלית

שרטוט ההוכחה

בהינתן משולש ABC ונקודה P, הצמדה איזוגונלית של P ביחס ל-ABC זו נקודה ^*P המוגדרת כנקודת החיתוך של שיקופי AP,BP,CP ביחס לחוצי הזוויות המתאימים. נרצה להוכיח את הישר המקווקו DEF, ונסתך על העובדה שהמשולש הירוק והמשולש הכחול דומים.

נשים לב כי לא רק ש-A'EA דומה ל-C'EC, אלא גם ש-AF ו-A'F יוצרים אותן זוויות עם צלעות המשולש הכחול כמו הזוויות ש-CD ו-C'D יוצרים עם צלעות המשולש הירוק, אבל בסדר הפוך. נשרטט את נקודה F' במשולש הירוק כך ש-A'FEA דומה ל-C'F'EC. בפרט, $\angle {AEF}=\angle {CEF'}$. הדמיון אומר כי $\angle {F'CE}=\angle {FAE}=\angle {C'CD}$ ואותו הדבר בנוגע לזוויות האחרות: כלומר, D היא הצמודה האיזוגונלית של 'F במשולש הירוק. בפרט, $\angle {CEF'}=\angle {C'ED}$. קיבלנו $\angle {AEF}=\angle {C'ED}$, וזה מתקיים אם ורק אם DEF ישר.

הוכחה באמצעות דואליות

המשפט הדואלי למשפט פסקל, משפט בריינשון

ניתן לבצע למשפט דואליות ביחס לחתך החרוט הנתון. כל הנקודות עליו יהפכו לישרים משיקים, וישרים כמו $12$ הופכים לנקודות חיתוך של הישרים המשיקים. הנקודה $16\cap 34$ הופכת לישר המחבר בין שתי נקודות החיתוך. צריך להוכיח ש-3 נקודות נמצאות על ישר אחד, או בדואליות, ש-3 שירים נחתכים בנקודה. זה הניסוח המדויק של משפט בריינשון .

הוכחה באמצעות משפט קיילי-בכראך

שרטוט ההוכחה: העקומים האליפטיים הם בירוק, אדום ואפור

משפט קיילי-בכראך אומר כי אם שלושה עקומים אליפטיים נחתכים בשמונה נקודות, קיימת נקודה תשיעית שכל השלושה עוברים בה. משפט בז'ו אומר כי עקום אלגברי ממעלה n ועקום אלגברי ממעלה m נחתכים ב-nm נקודות לכל היותר, ובמקרה שלנו זה אומר כי שני עקומים אלפטיים נחתכים ב-9 נקודות לכל היותר. לכן, ניסוח שקול למשפט קיילי-בכראך אומר כי אם יש שני עקומים אליפטיים הנחתכים ב-9 נקודות, עקום אליפטי העובר ב-8 מהן יעבור גם בתשיעית.

שני העקומים האליפטיים הראשונים הם $12\times 34\times 56$ ו-$23\times 45\times 61$, מכפלה (או איחוד) של שלושה ישרים. העקום השלישי יהיה חתך החרוט כפול (או מאוחד עם) ישר שעובר בשתיים משלוש הנקודות שמטרתינו להוכיח שהן על ישר. שלושת העקומים נחתכים ב-8 נקודות: 1,2,3,4,5,6 ושתיים מהנקודות האדומות. שני העקומים הראשוניים נחתכים בנקודה האדומה השלישית; ולכן גם העקום השלישי. חתך החרוט לא עובר בנקודה הזו (אחרת אחד מהישרים היה חותך את חתך החרוט 3 פעמים) ולכן הישר דרך 2 הנקודות האדומות עובר בנקודה האדומה השלישית.

Hexagrammum Mysticum

שלושה ישרי פסקל נפגשים בנקודת שטיינר

נניח ששש הנקודות 1,2,3,4,5,6 נתונות בלי חשיבות לסדר. מכיוון שהמשושה תלוי בסדר הקודקודים ולא רק במקומם, יש $\ {\frac {6!}{12}}=60$ משושים שונים שאלו הקודקודים שלהם (המשושה נקבע לפי מספור ששת הקודקודים, עד כדי סיבוב והיפוך הסדר). כל אחד ואחד מן המשושים האלה מגדיר ישר פסקל משלו, כך שששיית הנקודות במישור קובעת מערכת של 60 ישרי פסקל הקרויה "Hexagrammum Mysticum", שיש לה תכונות קומבינטוריות מורכבות.

20 נקודות שטיינר ו-15 ישרי פלוקר של ששיית נקודות

לדוגמה, יאקוב שטיינר הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שלוש נקודות זוגיות (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 143652 ו-163254) נפגשים בנקודה אחת; כך נוצרות 20 "נקודות שטיינר" (ראה איור). יש 15 "ישרי פלוקר" שכל אחד מהם עובר דרך ארבע נקודות שטיינר (ראה איור). בדומה לזה, T.P. Kirkman (1806-1895) הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שתי שלשות רצופות בכיוונים הפוכים (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 312564 ו-231645) גם הם נפגשים בנקודה אחת, וכך נוצרות 60 נקודות שכל אחת מהן שייכת לשלושה ישרי פסקל. יש 20 "ישרי קיילי" שכל אחד מהם עובר דרך נקודת שטיינר ושלוש נקודות קירקמן; ויש 15 "נקודות סלמון" שכל אחת מהן היא נקודת המפגש של ארבעה ישרי קיילי.

לקריאה נוספת

• Coxeter and Greitzer, Geometry Revisited, Section 3.8
• דוד פרייברט, חידושים בגאומטריה אוקלידית - תיאוריה של מרובע קמור ומעגל היוצר נקודות פסקל על צלעותיו, הוצאת אקדמון, 2021. נספח ב'.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט פסקל בוויקישיתוף

• משפט פסקל, באתר MathWorld (באנגלית)