שגיאת מדידה

שגיאת מדידה היא ההבדל בין ערך נמדד של גודל פיזיקלי ובין ערכו האמיתי.^[1] בסטטיסטיקה, שגיאה איננה "טעות" בהכרח, שכן השתנות היא חלק אינהרנטי מתוצאות המדידות ומתהליך המדידה.

ניתן לחלק שגיאות מדידה לשני סוגים, מקרית ושיטתית^[2]. שגיאות מקריות הן שגיאות במדידה שגורמות לחוסר עקביות של ערכים מדידים בעת מדידה חוזרת של קבועים וגדלים פיזיקליים. שגיאות שיטתיות הן שגיאות שאינן נקבעות במקרה, אלא בגורמים אינהרנטיים למערכת. ^[3] שגיאה מקרית תקטן כאשר מגדילים את מספר המדידות, בעוד השגיאה שיטתית תישאר. כך למשל, אם משתמשים במד טמפרטורה, עם אי ודאות של 0.1 מעלות צלזיוס, ככל שנבצע מספר מדידות רב יותר ונמצע את התוצאות, תקטן השגיאה. אולם, אם מד הטמפרטורה תקול ומראה מראש טמפרטורה גבוה יותר ב-5 מעלות צלזיוס מהסביבה, מספר המדידות לא יועיל בהפחתת שגיאה זו.

שגיאות מדידה באות לידי ביטוי במושגים דיוק ונכונות. אין לבלבל שגיאת מדידה עם אי ודאות במדידה.

במדע ובניסויים

בכל פעם שחוזרים על מדידה עם מכשיר רגיש, מקבלים תוצאות מעט שונות. המודל הסטטיסטי הנפוץ הוא שלשגיאה יש שני חלקים שאותם יש לחבר:

שגיאה שיטתית מתרחשת תמיד, עם אותו הערך, בשימוש במכשיר באותו אופן ובעבור מקרה זהה.
שגיאה אקראית - עשויה להשתנות מתצפית לאחרת.

שגיאה שיטתית נקראת לפעמים הטייה סטטיסטית. לעיתים קרובות ניתן להפחיתה באמצעות יצירת תקן. חלק מתהליך הלמידה במדעים השונים הוא ללמוד כיצד להשתמש במכשירים ובפרוטוקולים סטנדרטיים על מנת למזער שגיאות שיטתיות.

שגיאה אקראית נובעת מגורמים שלא ניתן לשלוט בהם. השגיאה עשויה להיגרם מכך כשמנסים למדוד ערך שמשתנה בזמן (ראו מודלים דינמיים), או הסתברותי ביסודו (כפי שקורה במכניקת הקוונטים). שגיאה אקראית נובעת גם מגבולות מכשירים המדידה. לדוגמה, מאזניים דיגיטליות מציגות שגיאה אקראית בספרה האחרונה שלהן. שלוש מדידות של עצם יכולות להיות למשל 0.9111g, 0.9110g ו-0.9112g.

אפיון

כאמור, ניתן לחלק את שגיאות המדידה לשני מרכיבים: טעות אקראית ושגיאה שיטתית.^[2]

שגיאה אקראית תמיד קיימת במדידה. היא נגרמת על ידי תנודות בלתי צפויות מטבען בקריאות של מכשיר מדידה או בפרשנות של הנסיין לקריאתו. שגיאות אקראיות מופיעות כתוצאות שונות עבור אותה מדידה חוזרת. ניתן להעריכן על ידי השוואת מדידות מרובות ולהפחיתן על ידי ממוצע מדידות אלה.

שגיאה שיטתית ניתנת לחיזוי ובדרך כלל קבועה או פרופורציונלית לערך האמיתי. אם ניתן לזהות את הסיבה לשגיאה השיטתית, בדרך כלל ניתן לבטל אותה. שגיאות שיטתיות נגרמות מכיול לקוי של מכשירי מדידה, שיטות תצפית לקויות, או הפרעה של הסביבה לתהליך המדידה, ותמיד משפיעות על תוצאות הניסוי בכיוון שניתן לצפות מראש. כמו כן, איפוס שגוי של מכשיר המוביל לשגיאה שיטתית במכשור.

טעות אקראית יכולה להיגרם מתנודות בלתי צפויות בקריאות של מכשיר מדידה, או בפרשנות הנסיין בקריאת המכשיר; תנודות אלו עשויות לנבוע בחלקן מהפרעה של הסביבה בתהליך המדידה. המושג של טעות אקראית קשור קשר הדוק למושג הדיוק (Precision). ככל שהדיוק של מכשיר מדידה גבוה יותר, השונות (סטיית התקן) של התנודות בקריאות שלו קטנה יותר.

סיבות לשגיאות

שגיאה שיטתית

כיול לקוי

סיבות לשגיאה שיטתית עשויות להיות כיול לקוי של מכשירי מדידה (שגיאת אפס), שינויים בסביבה שמפריעים לתהליך המדידה, ושיטות תצפית לקויות. נניח שנסיין מודד את זמן המחזור של מטוטלת, הוא רושם את הזמן שעבר באמצעות קו שסימן מראש. אם התחיל את שעון העצר, כך שהשעון החל לרוץ כשהציג שנייה אחת במקום אפס, תהיה שגיאה שיטתית של שנייה אחת.

טעויות שיטתיות עשויות להופיע כשאומדן מסוים מבוסס מודל מתמטי או חוק פיזיקלי. לדוגמה, תדירות התנודה המחושבת של מטוטלת תהיה שגויה באופן שיטתי, אם לא מתחשבים בתנודות קלות של התמך.

כמות

שגיאות שיטתיות יכולות להיות קבועות או קשורות לערך הממשי של הכמות הנמדדת, או אפילו לערך של כמות אחרת (הקריאה של סרגל יכולה להיות מושפעת מטמפרטורת הסביבה). כשהן קבועות, יכול הדבר לנבוע מאפס שגוי של המכשיר. כשהן אינן קבועות, יכול הסימן להשתנות. לדוגמה, אם מדחום מושפע משגיאה שיטתית פרופורציונלית השווה ל-2% מהטמפרטורה בפועל, והטמפרטורה בפועל היא 200°, 0° או −100°, הטמפרטורה הנמדדת תהיה 204° (שגיאה שיטתית = + 4°), 0° (שגיאה שיטתית אפס) או 102°- (שגיאה שיטתית = −2°), בהתאמה. לפיכך הטמפרטורה תהיה מוערכת יתר על המידה מעל האפס וובהערכת חסר בהיותה מתחת לאפס.

סחיפה

קל יותר לזהות שגיאות שיטתיות המשתנות במהלך ניסוי - סחיפה. מדידות מצביעות על מגמות עם הזמן ולא משתנות באופן אקראי לגבי ממוצע. סחיפה ניכרת אם מדידה של כמות קבועה חוזרת על עצמה מספר פעמים והמדידות "נעות" בכיוון אחד במהלך הניסוי. אם מדידה מסוימת נותנת ערך גבוה יותר מקודמתה, כפי שעלול לקרות אם מכשיר המדידה מתחמם במהלך הניסוי, אזי הכמות הנמדדת משתנה, וניתן לזהות סחיפה על ידי בדיקת קריאת האפס בתחילת הניסוי, במהלכו, והשוואתם (קריאת האפס היא מדידה של כמות קבועה). אם קריאת האפס היא בעקביות מעל או מתחת לאפס, קיימת שגיאה שיטתית. אם לא ניתן לבטלה, על ידי איפוס המכשיר בראשית הניסוי, אפשר להפחית את ערכה (המשתנה בזמן) מהקריאות, ועל ידי התחשבות בשגיאה בהערכת הדיוק של המדידה.

בהיעדר דפוס בסדרת מדידות חוזרות, ניתן למצוא נוכחות של שגיאות שיטתיות קבועות באמצעות השוואתן לגודל ידוע, או לקריאות שנעשו של מכשיר שנחשב למדויק יותר.

בדומה לדוגמה מקודם, נמדד זמן המחזור של מטוטלת באמצעות שעון עצר מספר פעמים, והמדידות מפוזרות סביב הממוצע. ייתכן מצב, שביחס לשעון מדויק יותר, יתברר ששעון העצר רץ מהר מדי או לאט מדי. זוהי שגיאה שיטתית, שיש לתקן לאחר שמבינים את קצב התקדמות שעון העצר ביחס לשעון הנוסף.

מכשירי מדידה כגון מד זרם ומד מתח צריכים להיבדק מעת לעת מול תקנים ידועים.

ניתן לזהות שגיאות שיטתיות גם על ידי מדידת גדלים ידועים מכבר. לדוגמה, ניתן לבדוק ספקטרומטר המצויד בסריג עקיפה אם משתמשים בו כדי למדוד את אורך הגל של קווי ה-D של הספקטרום האלקטרומגנטי של נתרן, ב-600 וב-589.6 ננומטר. המדידות עשויות לשמש כדי לקבוע את מספר הקווים למילימטר של סריג העקיפה, ולאחר מכן ניתן להשתמש בהן כדי למדוד את אורך הגל של כל קו ספקטרלי אחר.

קשה יותר להתמודד עם שגיאות שיטתיות קבועות שהשפעותיהן ניתנות לצפייה רק לאחר הסרתן. לא ניתן להסיר שגיאות כאלה על ידי חזרה על מדידות או ממוצע של מספר רב של תוצאות. שיטה נפוצה להסרת שגיאה שיטתית היא באמצעות כיול של מכשיר המדידה.

סיבות לשגיאות מקריות

השגיאה המקרית (או הסטוכסטית) במדידה היא השגיאה שהיא אקראית מדידה אחת לאחרת. שגיאות סטוכסטיות נוטות להתפלג בצורה נורמלית עקב משפט הגבול המרכזי - השגיאה הסטוכסטית היא סך השגיאות המקריות הבלתי תלויות.

השפעה על ניתוח רגרסיה

אם המשתנה התלוי ברגרסיה נמדד עם שגיאה, ניתוח הרגרסיה ובדיקת ההשערות הקשורות אינם מושפעים, אולם ה-R²

יהיה נמוך יותר ממה שהיה עם מדידה מושלמת.

עם זאת, אם משתנה בלתי תלוי אחד או יותר נמדד עם שגיאה, אזי מקדמי הרגרסיה ומבחני ההשערה הסטנדרטיים אינם חוקיים. ^[4] - זוהי הטיית הנחתה. ^[5]

הערות שוליים

^ Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 978-0-19-920613-1
^ ¹ ² John Robert Taylor (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94, §4.1. ISBN 978-0-935702-75-0.
^ "Systematic error". Merriam-webster.com. נבדק ב-2016-09-10.
^ Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01018-2.
^ Angrist, Joshua David; Pischke, Jörn-Steffen (2015). Mastering 'metrics : the path from cause to effect. Princeton, New Jersey. p. 221. ISBN 978-0-691-15283-7. OCLC 877846199. The bias generated by this sort of measurement error in regressors is called attenuation bias.

[Dodge-1] Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 978-0-19-920613-1

[Taylor-2] ¹ ² John Robert Taylor (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94, §4.1. ISBN 978-0-935702-75-0.

[3] "Systematic error". Merriam-webster.com. נבדק ב-2016-09-10.

[4] Hayashi, Fumio (2000). Econometrics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01018-2.

[5] Angrist, Joshua David; Pischke, Jörn-Steffen (2015). Mastering 'metrics : the path from cause to effect. Princeton, New Jersey. p. 221. ISBN 978-0-691-15283-7. OCLC 877846199. The bias generated by this sort of measurement error in regressors is called attenuation bias.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]