שיטת מטעני דמות

שיטת מטעני דמות או שיטת השיקופים היא שיטה בסיסית לפתרון בעיות אלקטרוסטטיות. מקור שם השיטה הוא בהחלפה או בתוספת של אלמנטים מסוימים בתצורה המקומית באלמנטים "דמיוניים", שמקיימים את תנאי השפה במקום האלמנטים המוחלפים. השיטה מבוססת על משפט היחידוּת וקשורה אליו בקשר עמוק. היא משמשת לרוב בפתרון בעיות שכוללות מטענים ומוליכים מושלמים. השיטה (שיטת הדמויות) עשויה לסייע גם בפתרון בעיות מגנטוסטטיות (מגנט לצד משטח מוליך-על, למשל) או הידרודינמיות (מערבולת ליד קיר).

משפט היחידות ויסודות השיטה

משפט היחידות למשוואת לפלס גורס, כי בהינתן הפוטנציאל $\ \Phi (r)$ על שפתו של נפח מסוים, אזי למשוואת לפלס פתרון יחיד בתחום הכלוא בנפח. הוכחת המשפט מתבססת על הנחה בשלילה כי קיימים שני פתרונות שונים $\ \Phi _{1}$ ו-$\ \Phi _{2}$ לבעיית תנאי השפה הנתונה. כלומר, שניהם מקיימים את משוואת לפלס: $\nabla ^{2}\Phi _{1,2}=0$ ואת תנאי השפה הנתונים. כעת נבחן את ההפרש בין שני הפתרונות: $\ \Phi _{3}$. מאחר ששני הפתרונות מקיימים את משוואת לפלס, גם הפרשם מקיים זאת $\ \nabla ^{2}\Phi _{3}=0$, וכן מתקיים $\ \Phi _{3}=0$ על שפת הנפח הנתון. ואולם, $\ \Phi _{3}$ הוא פונקציה הרמונית (כלומר הוא מקיים את משוואת לפלס), ולכן אין לו נקודות קיצון מקומיות בתחום. מסיבה זו חייב להתקיים $\ \Phi _{3}=0$ בכל התחום, כלומר $\ \Phi _{1}=\Phi _{2}$ בכל התחום.

משפט יחידות דומה (עד כדי קבוע אדיטיבי) קיים גם עבור משוואת פואסון. שני משפטי היחידות קובעים כי פתרון בעיה אלקטרוסטטית הוא יחיד. שיטת מטעני הדמות מנצלת ידע זה. נניח ונרצה למצוא את הפוטנציאל (או השדה) באזור מסוים בהינתן תצורת מטענים ותנאי שפה מסוימים. נוכל להוסיף מטענים מחוץ לאזור בו אנו מתעניינים (כך איננו משנים את תצורת המטענים בו). אם המטענים שהוספנו מקיימים את תנאי השפה יחד עם המטענים הראשוניים, אזי הפתרון המוגדר על ידי תצורת המטענים החדשה הוא הפתרון באזור בו התעניינו. הפתרון באזור בו הוספנו מטענים לא יכול להימצא בדרך זו, כיוון שתצורת המטענים בו השתנתה (ולכן התצורה המקורית איננה מקיימת את אותן המשוואות).

המטענים החדשים המתווספים על מנת לקיים את תנאי השפה, ושאינם קיימים בבעיה המקורית, נקראים "מטעני דמות" (באנלוגיה לדמות של עצם הניצב מול מראה), ומכאן שם השיטה. פעולת הקביעה של מטעני הדמות ומיקומם נקראת שיקוף.

מקרים בסיסיים

מטען נקודתי לצד מישור מוליך מוארק

מטען נקודתי ולוח מישורי אינסופי

נניח כי קיים מטען נקודתי $\ q$ לצד לוח מישורי אינסופי מוליך ומוארק. מרחק המטען מהמישור הוא a. תנאי השפה של הבעיה הוא שהפוטנציאל על המישור המוליך מתאפס, שכן הוא מוארק. כעת נחליף את הלוח המוארק במטען נקודתי נוסף, $\ -q$, שיימצא מול המטען הנקודתי הראשוני - באופן סימטרי ביחס ללוח (הלוח כמראה), כבציור. מרחק שני המטענים מהלוח זהה, לכן כל נקודה על המישור בו היה הלוח נמצאת במרחק זהה משני המטענים. מכיוון שהמטענים זהים בגודלם אך הפוכים בסימנם, הפוטנציאל על כל נקודה במישור הוא אפס. כלומר, תנאי השפה של הבעיה המקורית מתקיימים. אם נתעניין בחצי המרחב בו נמצא המטען המקורי, ניתן יהיה למצוא את הפוטנציאל בעזרת סופרפוזיציה של שני המטענים הנקודתיים המדוברים. בניסוח מתמטי, הפוטנציאל בחצי המישור העליון (בציור) הוא:

$\ \Phi \left(x,y,z\right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+\left(z-a\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,$

וזאת בהסתמך על הפוטנציאל שיוצר מטען נקודתי. משפט היחידות קובע כי הפתרון שנמצא הוא גם הפתרון היחיד לבעיה. הפוטנציאל בחצי המרחב התחתון הוא 0, כפי שניתן לראות ממשפט היחידות הראשון - הפוטנציאל מתאפס על המישור ובאינסוף (שם השפעת המטען הנקודתי דועכת), ולכן הוא אפס בכל מקום ביניהם. מתוך פתרון זה ניתן למצוא גם את השדה החשמלי בבעיה (מתוך נגזרת הפוטנציאל), את צפיפות המטען המשטחית על הלוח (מתוך הקפיצה בשדה) ואת המטען הכולל המושרה על הלוח.

אם מונחים בסמוך ללוח המישורי כמה מטענים, ניתן לשקף כל אחד מהם בנפרד, וכמו קודם, להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה.

מטען נקודתי לצד קליפה כדורית מוליכה מוארקת

כעת נניח כי קיים מטען נקודתי $\ q$ לצד כדור מוליך ומוארק שרדיוסו R ושמרכזו בראשית הצירים. כן נניח כי מיקום המטען הנקודתי הוא $\ r_{q}=(d,0,0)$. כמו בבעיה הקודמת, הפוטנציאל על הכדור הוא 0 ובתוכו לא נמצאים מטענים, ולכן הפוטנציאל מתאפס לכל r שקטן מ-R. כעת נתעניין בפוטנציאל מחוץ לכדור. נחפש תצורת מטענים חלופית, שבה הכדור המוליך מוחלף במטען נקודתי $\ Q$ ומיקומו $\ r'_{Q}=(D,0,0)$ (מטעמי סימטריה), ואשר תאפס את הפוטנציאל על משטח כדורי ברדיוס R. הפוטנציאל הכולל ייכתב כסופרפוזיציה של שני המטענים:

$\ \Phi (x,y,z)={\frac {q}{\sqrt {(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}+{\frac {Q}{\sqrt {(x-D)^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=0$

כן מתקיים עבור $\ r=R$:

$\ |(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2}|=R^{2}+d^{2}-2xd$

לכן נוכל לכתוב את המשוואה:

$\ q^{2}(R^{2}+D^{2}-2xD)=Q^{2}(R^{2}+d^{2}-2xd)$

שוויון זה מתקיים עבור כל ערך של x על הכדור, כלומר ערכי x הנמצאים בין מינוס R ל־R, מהשוואת מקדמים עבור x, או בהצבה עבור $x=R$,‏ $x=0$, ניתן לגזור מתוכו שתי משוואות בשני נעלמים (מטען הדמות ומרחקו) מן הראשית (בשיטת ההצבה יש צורך לוודא כי התוצאות המתקבלות פותרות את המשוואה הכללית עם x, לכל x, בעוד שבהשוואת מקדמים כך קיבלנו את הגדלים האלו). פתרון המשוואה האפשרי היחיד הוא:

$\ D={\frac {R^{2}}{d}}$

$\ Q=-q{\frac {R}{d}}$

כלומר, אם נחליף את הקליפה הכדורית המוארקת במטען הדמות הנ"ל במיקום הנ"ל, נקבל שהפוטנציאל על משטח הקליפה מתאפס. כלומר, התצורה החליפית בדמות $\ Q$ מקיימת את תנאי השפה של הבעיה, ולכן הפוטנציאל הנגזר ממנה הוא הפוטנציאל הפותר את הבעיה. לכן, מחוץ לכדור מתקיים:

$\ \Phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|r-(d,0,0)|}}+{\frac {Q}{|r-(D,0,0)|}}\right)$

גם כאן מציאת הפוטנציאל במרחב מאפשרת למצוא את השדה בכל מקום, את צפיפות המטען המשטחית המושרית על הכדור, את המטען הכולל על הכדור ($Q$) וכדומה. פתרון זה הוא הבסיס למספר בעיות דומות בעלות תנאי שפה שונים במקצת, בהן הקליפה המוליכה המוארקת מוחלפת בקליפה מוליכה שאינה מוארקת, כלומר כזו שהפוטנציאל או המטען הכולל עליה ידועים. בבעיות מסוג זה, יש להוסיף מטען דמות נוסף במרכז הקליפה הכדורית. הסיבה לכך היא שהמטען המקורי ומטען הדמות הראשון מאפסים יחד את הפוטנציאל על הקליפה. כעת יש להסיט את הפוטנציאל על הקליפה (בכל הקליפה) בקבוע (זוהי ההשפעה של מטען או פוטנציאל שאינו אפס), ולשם כך בדיוק נועד מטען הדמות השני.

ראו גם

• חוק קולון
• משפט גאוס

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שיטת מטעני דמות בוויקישיתוף