משפט ארנפסט

במכניקת הקוונטים, משפט ארנפסט (על שם הפיזיקאי פול ארנפסט ) הוא משפט המקשר בין הנגזרת של ערך התצפית של אופרטור פיזיקלי כלשהו, עם הקומוטטור שלו עם ההמילטוניאן של המערכת.

המשפט אומר כי מתקיים:

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$

כאשר $A$ הוא אופרטור פיזיקלי, ו-$\langle A\rangle$ הוא ערך התצפית שלו.

משפט ארנפסט מופיע רבות בתמונת הייזנברג בתור ערך התצפית של משוואת התנועה של הייזנברג. כמו כן, הוא מהווה תמיכה מתמטית לעקרון ההתאמה של בוהר.

משפט ארנפסט דומה מאוד למשפט ליוביל על המילטוניאנים , כאשר מחליפים את הקומוטטור בסוגרי פואסון. לפי כלל האצבע של דיראק, טענות במכניקת הקוונטים שמכילות קומוטטור מתאימות לטענות מהמכניקה הקלאסית כאשר מחליפים בין הקומוטטור וסוגרי פואסון, מוכפלים ב- iħ.

הוכחה בתמונת שרדינגר

תהי מערכת קוונטית הנמצאת במצב קוונטי $\Phi$. נרצה לחשב את הנגזרת בזמן של ערך התצפית של האופרטור A, והיא לפי הגדרה:

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi dx^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi dx^{3}+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi dx^{3}+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)dx^{3}=$

$=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)dx^{3}$

כאשר האינטגרציה היא על כל המרחב. כשנפעיל את משוואת שרדינגר, נקבל:

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi$

והיות ואופרטור ההמילטוניאן הרמיטי, מתקיים גם

${\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.$

כשנציב את שתי המשוואות האחרונות במשוואה הראשונה, נקבל את המשפט:

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$

במקרים בהם האופרטור A אינו תלוי בזמן, האיבר האחרון מתאפס.

הוכחה בתמונת הייזנברג

בתמונת הייזנברג, הנגזרת טריוויאלית. תמונת הייזנברג מקדמת בזמן את המערכת באמצעות אופרטורים ולא מצבים על ידי משוואת התנועה של הייזנברג:

${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]$

ניתן להוכיח מכאן את משפט ארנפסט בקלות באמצעות הפעלת נגזרת האופרטור באופן הבא:

$\langle \Psi |{\frac {d}{dt}}A(t)|\Psi \rangle =\langle \Psi |{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H)]|\Psi \rangle$

ניתן להוציא את הנגזרת מהביטוי הראשון היות שוקטורי מצב בתמונת הייזנברג הם בלתי תלויים בזמן. על כן:

${\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\langle [A(t),H)]\rangle$

דוגמה

עבור חלקיק גדול הנע בפוטנציאל V, ההמילטוניאן הוא

$H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$

כאשר x הוא מיקום החלקיק.

נרצה לחשב את השינוי הרגעי בתנע p. נעשה זאת תוך שימוש במשפט ארנפסט:

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle$

כאשר המעבר השני נובע מכך שהתנע חילופי עם עצמו ואינו תלוי מפורשות בזמן. . נשתמש בכך שמתקיים $p=-i\hbar \nabla$ ונקבל:

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}\nabla (V(x,t)\Phi )~dx^{3}$

נפעיל על הביטוי השני את כלל לייבניץ ונקבל:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}\\&=-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}\\&=\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,\end{aligned}}$

וזהו החוק השני של ניוטון. זוהי דוגמה לעקרון ההתאמה של בוהר. באופן דומה, ניתן לבדוק את השינוי בזמן של ערך התצפית של המקום:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}$

אכן, שוב קיבלנו התאמה לעקרון מהמכניקה הקלאסית.

ראו גם

• מכניקת הקוונטים
• ערך תצפית
• דינמיקה קוונטית