אופרטור הרמיטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אופרטור הרמיטי הוא סוג של אופרטור מתמטי, או ליתר דיוק אופרטור לינארי ממרחב הילברט לעצמו, המקיים תכונות מיוחדות (שיפורטו בהמשך) שהופכות אותו לשימושי במיוחד.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 מטריצה הרמיטית
3 יישומים
- 3.1 פיזיקה
- 3.2 יישומים אחרים

[עריכה] הגדרה

יהי H מרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים ותהי < , > מכפלה פנימית.

[עריכה] הצמוד ההרמיטי

יהי A אופרטור לינארי חסום. נגדיר את הצמוד ההרמיטי של A ונסמנו $A^\dagger$ (מבוטא "A דאגר") באופן הבא:

$\forall x,y \in H \ : \ \lang Ax , y \rang = \lang x , A^\dagger y \rang$

ממשפט ההצגה של ריץ מובטחים לנו קיומו ויחידותו של הצמוד ההרמיטי, וכן שהוא אופרטור לינארי וחסום גם כן.

תכונות הצמוד ההרמיטי:

${( A^\dagger )}^\dagger = A$
$\ (A + B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger$
$( \lambda A )^\dagger = \lambda^* A^\dagger = \overline{\lambda} A^\dagger$
$\ (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$

תכונות אלה מגדירות מבנה שנקרא אלגברה סי כוכב או אלגברה *C.

אם נגדיר נורמה אופרטורית על ידי

$\| A \| _{op} := \sup \{ \|Ax \| : \| x \| \le 1 \}$

אזי

$\| A^\dagger \| _{op} = \| A \| _{op}$ .

יתרה מכך,

$\| A^\dagger A \| _{op} = \| A \| _{op}^2$

זוהי תכונה שימושית מאחר ש- $\ A^\dagger A$ הוא אופרטור הרמיטי.

[עריכה] אופרטור הרמיטי

אנו נאמר שאופרטור A הוא הרמיטי (מונח מקובל נוסף הוא צמוד לעצמו) אם

$A = A^\dagger$

שזה שקול ל

$\forall x,y \in H : \ \lang Ax , y \rang = \lang x , A y \rang$

כלומר, אפשר ל"הקפיץ" את האופרטור בין שני אגפי המכפלה הפנימית.

אופרטורים הרמיטיים הם מאוד שימושיים בגלל משפט הפירוק הספקטרלי. מעל מרחב הילברט ספרבילי מובטח לנו שאם A אופרטור הרמיטי, אזי:

$\ \lang x , Ax \rang$ הוא מספר ממשי לכל וקטור x. במילים האחרות, העקבה של A ממשית.
כל הערכים העצמיים של A הינם ממשיים.
סט הווקטורים העצמיים שלו מהווים בסיס אורתונורמלי.
האופרטור A ניתן לליכסון יוניטרי כך שכל הע"ע הם ממשיים.

משפט הפירוק הספקטרלי הוא הבסיס לאנליזת פורייה ופיתוח לטור פורייה.

[עריכה] הגדרה יותר ריגורוזית

כאשר האופרטור A איננו מוגדר על כל מרחב הילברט H עושים הבחנה בין אופרטור הרמיטי לאופרטור צמוד לעצמו.

אופרטור A המוגדר מעל תחום $\ \mbox{dom}A \subset H$ הצפוף ב H נקרא הרמיטי (או סימטרי), אם:

$\ \forall x , y \in \mbox{dom}A \ \ : \ \lang A x , y \rang = \lang x , A y \rang = \lang x , A^\dagger y \rang$ ו $\ \mbox{dom}A \subset \mbox{dom} A^\dagger$ .

חשוב להדגיש שכאן האופרטור הצמוד מוגדר על תחום רחב יותר מאשר A ולכן קיימים איברים שעבורם הצמוד מוגדר אך A לא! לכן, A איננו שווה ל A-צמוד, אלא רק מזדהה איתו על תת-תחום מסוים.

לעומת זאת, אופרטור A המוגדר מעל תחום $\ \mbox{dom}A \subset H$ הצפוף ב H נקרא צמוד לעצמו, אם $\ A = A^\dagger$ . כלומר: A אופרטור הרמיטי שמקיים $\ \mbox{dom}A = \mbox{dom} A^\dagger$ . כאן, יש להדגיש, מתקיים שוויון ממש בין האופרטורים.

[עריכה] מטריצה הרמיטית

מקרה פרטי חשוב ונפוץ של אופרטור הרמיטי הוא מטריצה הרמיטית. כזכור, כל אופרטור לינארי שפועל על מרחב ממימד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה (שהיא המטריצה המייצגת בבסיס שנקבע מראש).

עבור מטריצה מעל שדה המרוכבים נהוג לא להשתמש בשחלוף גרידא אלא בשחלוף והצמדה (מרוכבת).

את הצמוד ההרמיטי של מטריצה A מגדירים:

$A^\dagger := \overline{A}^t = \overline{A^t}$

כאשר t מסמן שחלוף ו $\overline{a+ib} = a - ib$ הוא לקיחת צמוד מרוכב. הערה: קל לבדוק שהגדרה זו היא אכן מקרה פרטי של ההגדרה הכללית כאשר מפרשים מכפלה סקלרית ככפל מטריצות רגיל של וקטור שורה בוקטור עמודה.

מטריצה ששווה לעצמה לאחר שחלוף והצמדה של האיברים, כלומר $\ A = A^\dagger$ , נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית אם כל האיברים בה הם ממשיים.

מטריצה הרמיטית היא מטריצה טובה, ומאחר שתמיד אפשר ללכסן אותה כך שהמטריצה המלכסנת היא יוניטרית (זה מקרה פרטי של משפט הפירוק הספקטרלי והליכסון היוניטרי). במטריצה אלכסונית הרבה יותר קל לבצע חישובים (כגון כפל מטריצות).

[עריכה] יישומים

[עריכה] פיזיקה

לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים. על פי תורה זו כל הגדלים הפיזיקלים המדידים (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור. הסיבה לכך היא שגודל מדיד חייב להיות מספר ממשי (לא ייתכנו גדלים מדידים מדומים) ולאופרטורים הרמיטיים ערכים עצמיים (=ערכי מדידה) ממשיים בלבד.

[עריכה] יישומים אחרים

משפט באלגברה לינארית: כל מטריצה סימטרית ממשית ניתנת לליכסון אורתוגונלי.
פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות תורת שטורם-ליוביל.
אנליזת פורייה.

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • מטריצה מצורפת • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • טנזור

אופרטור הרמיטי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] הצמוד ההרמיטי

[עריכה] אופרטור הרמיטי

[עריכה] הגדרה יותר ריגורוזית

[עריכה] מטריצה הרמיטית

[עריכה] יישומים

[עריכה] פיזיקה

[עריכה] יישומים אחרים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות