משוואת שרדינגר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת שרדינגר (שידועה גם בשם משוואת הגלים של שרדינגר) היא משוואת התנועה היסודית של מערכות קוונטיות, שהוצעה על ידי הפיזיקאי האוסטרי ארווין שרדינגר ב-1926 ומתארת כיצד מצב קוונטי של מערכת פיזיקלית משתנה לאורך הזמן. משוואת שרדינגר ניתנת להמרה באופן מתמטי למכניקת המטריצות של הייזנברג ולאינטגרלי המסלול של פיינמן, השקולים לה. משוואת שרדינגר מתארת את הזמן באופן היוצר קושי עם תאוריות יחסותיות, בעיה שאינה כה חמורה כמו היחס לזמן במכניקת המטריצות או באינטגרלי המסלול. משוואה זו בעלת חשיבות מרכזית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית.

בפרשנות הרגילה למכניקת הקוונטים, המצב הקוונטי הוא התיאור השלם ביותר היכול להינתן למערכת פיזיקלית. פתרונות משוואת שרדינגר מתארים מערכות אטומיות ותת-אטומיות, אלקטרונים ואטומים, אך גם מערכות מיקרוסקופיות, וכנראה גם את כל היקום.

רקע היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשנת 1909 הראה ארנסט רתרפורד באמצעות ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא על עלה דק של זהב שהמטען החיובי באטום מרוכז באזור קטן מאוד במרחב, הידוע היום בשם 'גרעין האטום'. בעקבות הניסוי הציג רתרפורד מודל של האטום הקרוי המודל הפלנטרי שלפיו האלקטרונים הם חלקיקים קטנים הנעים סביב גרעין האטום באופן דומה לאופן שבו כוכבי הלכת מקיפים את השמש.

בשנת 1913 נילס בוהר פיתח מודל זה, והציג תאוריה הקרויה היום מודל בוהר שממנה משתמע שהאלקטרונים מתנהגים כמו גלים ונעים סביב גרעין האטום באופן הדומה לגלים עומדים. בבסיס המודל הזה היא ההנחה שהתנע הזוויתי של האלקטרונים, בנועם סביב הגרעין, יכול להיות רק כפולות שלמות של קבוע פלנק, ושפליטת אור מתרחשת כאשר האלקטרונים עוברים בין המסלולים השונים. מודל זה הראה התאמה מושלמת לספקטרום האנרגיה של אטום המימן וכן הסביר את זמני החיים הארוכים של האטומים (שכן על פי תורת החשמל הקלאסית, אלקטרונים החגים סביב גרעין אמורים לפלוט קרינה שתגרום להם לצנוח לעבר הגרעין). מודל בוהר שלפיו חלקיקים מתנהגים כמו גלים, יחד עם ההסבר של מקס פלאנק לקרינת גוף שחור (משנת 1900) וההסבר של איינשטיין לאפקט הפוטואלקטרי (משנת 1905) - שלפיהם גלי האור מתנהגים כמו חלקיקים, מהווים את הבסיס למה שקרוי היום 'תורת הקוונטים הישנה'.

למרות ההצלחות בפיענוח ספקטרום אטום המימן, המודל של בוהר השאיר שאלות רבות פתוחות. המודל לא נתן הסבר לספקטרום של אטומים ומולקולות מורכבים יותר מהמימן, הוא הראה שהחלקיקים מתנהגים כמו גלים אך לא הסביר מה בדיוק מתנדנד ומהי משוואת הגלים של הטבע. מתן תשובה לשאלות הללו הפך לנושא מחקר מרכזי עבור הקהילה הפיזיקלית, ובפרט עבור קבוצה של תלמידים ומדענים שהובלו על ידי בוהר וכללו אנשים כמו וורנר הייזנברג, מקס בורן ווולפגנג פאולי.

צעד חשוב בדרך למציאת משוואת הגלים הגיע בשנת 1924 כאשר לואי דה ברולי הציג את השערת דה ברולי, לפיה כל חלקיקי החומר בעלי תכונות של גל, ולא רק קרינה אלקטרומגנטית (מושג זה נקרא כיום דואליות הגל-חלקיק):

\lambda=\frac{h}{p}


כאשר \lambda\; הוא אורך הגל, h\; הוא קבוע פלאנק ו-p\; הוא תנע החלקיק. דה ברולי הראה כי השערתו מתאימה למשוואתו של פלאנק ופיתוחו של איינשטיין, וכן לתורת היחסות הפרטית. כעת המשוואה של פלאנק התאימה לכל החלקיקים, ולא רק לקרינה האלקטרומגנטית.

צעד נוסף היה בשילוב של רעיונות תורת הקוונטים הישנה עם הפיזיקה הסטטיסטית, שהוחל ביוני 1924 כאשר הפיזיקאי ההודי סאת'ינדרה נאת' בוז (Satyendra Nath Bose) שלח מאמר לאיינשטיין ובו הוכחה חדשה למשוואה של פלאנק. הוא התייחס לפוטונים כאל מולקולות של גז והשתמש בהוכחה בשיטות מן המכניקה הסטטיסטית. בניגוד למכניקה הסטטיסטית הקלאסית של לודוויג בולצמן וג'יימס קלרק מקסוול, בה לכל מולקולה יש ייחוד והחלפה בין שתי מולקולות יוצרת מצב חדש, בוז הניח כי ההחלפה בין שני קוונטים של אור אינה יוצרת מצב חדש. בין השנים 1925-1924 פרסם איינשטיין שלושה מאמרים בהם יישם את רעיונותיו של בוז לגז אידאלי של מולקולות בהן אטום אחד. המאמרים תמכו ברעיונותיו של בוז בקשר לאופי הגלי של המולקולות וקישרו את רעיונות אלו להשערת דה ברולי.

שנת 1926 הייתה שנת המפתח לפיתוחה של תורת הקוונטים עת התפרסמו שתי גרסאות למשוואת הגלים של החלקיקים. גרסה אחת שהוצגה על ידי ורנר הייזנברג וקרויה היום על שמו משוואת הייזנברג - הניחה שגדלים פיזיקליים (כמו מיקום, תנע ואנרגיה) נקבעים על ידי אופרטורים ואלו מתפתחים עם הזמן - על פי משווואת הגלים שהוא הציג. לעומתו, במקביל להייזנברג פעל ארווין שרדינגר לחיפוש משוואת הגלים באופן שונה.

בשלהי 1925, כתב שרדינגר מאמר שכותרתו הייתה "על התאוריה של גז איינשטיין", שעסק בגז של חלקיקים קוונטים ובוסס על השערת דה ברולי, כמו גם גישתו של איינשטיין לרעיון. ב-1926 פרסם שרדינגר מאמר נוסף שעסק הפעם באטום המימן. בגז החלקיקים הקוונטים אפשר היה להניח כי על חלקיקי הגז הקוונטי לא פועל כוח, ולהזניחו, אך באטום המימן לא היה יכול שרדינגר להתעלם מן הכוח שבין הגרעין לאלקטרון. שרדינגר פיתח משוואה דיפרנציאלית שקשרה בין השינוי בגל כתלות במקום ובין השינוי בו כתלות בזמן, אולם התוצאה לא התאימה לאטום המימן. הוא ניסה שוב, הפעם באמצעות משוואה יחסותית שתיצור הקבלה בין משוואה מן המכניקה המתייחסת לאלקטרון כחלקיק, ובין משוואה המתארת אותו כגל, וגם הפעם נכשל. בפעם השלישית ניסה להשתמש בביטוי לא יחסותי, והפעם הצליח.

עם פיתוח משוואת הגלים על ידי שרדינגר החלה תקופה קצרה שבה נעשה נסיון לענות אילו משתי התאוריות השונות היא הנכונה (זו של שרדינגר או זו של הייזנברג). תקופה זו נגמרה כאשר שרדינגר הצליח להראות ששתי הגישות השונות שקולות.

פיתוח המשוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת הקוונטים נהוג לתאר את מצבו של חלקיק באמצעות פונקציית גל. לכן נצפה שהמשוואה המתארת את השינוי במצבו של חלקיק בזמן ובמרחב תהיה בעלת מבנה כללי של משוואת גלים, ז"א קשר כלשהו בין הנגזרת המרחבית והזמנית של פונקציית הגל. ובכן, נביט על פונקציית גל המתארת התקדמות של חלקיק חופשי (לכיוון החיובי של ציר האיקס):

 \psi = e^{i\left(kx-\omega t\right)}

כאשר \ k הוא מספר הגל, ו-\ \omega\! היא התדירות הזוויתית של הגל.

נגזור פעם לפי מקום ופעם לפי זמן:
 \frac{\partial}{\partial x}\psi = ik\psi   ,   \frac{\partial}{\partial t}\psi = -i\omega \psi

נזכר בקשר בין מספר הגל לתנע ע"פ השערת דה ברויי, ובין התדירות לאנרגיה:

 k = \frac{p}{\hbar}   ,   \omega = \frac{E}{\hbar}

כאשר \ p הוא התנע של החלקיק, \ E - האנרגיה הקינטית שלו, ו-\hbar\; הוא קבוע דיראק (שהוא למעשה קבוע פלאנק חלקי שני פאי).

נציב את הקשרים האלה חזרה לנגזרות ולאחר העברת אגפים נקבל:

 -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi = p \psi   ,   i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi = E \psi

בעקבות המשוואות דלעיל נבקש לזהות את האופרטור  -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} עם תנע (p), ואת האופרטור  i\hbar \frac{\partial}{\partial t} עם אנרגיה (\ E).

כעת, נזכר בקשר הקלאסי בין תנע ואנרגיה עבור חלקיק בעל מסה m:  E = \frac{p^2}{2m} השימוש בקשר הקלאסי בין אנרגיה ותנע (ללא התחשבות באנרגיה הפנימית) משמעו שהמשוואה שתתקבל תהיה לא יחסותית. נציב במקום \ E ו-\ p את האופרטורים כפי שנתונים לעיל (נשים לב שהתנע מועלה בריבוע, ולכן יש להפעיל את אופרטור התנע פעמיים), נקבל:

 -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi

וזוהי משוואת שרדינגר לחלקיק חופשי בחד-מימד, ז"א חלקיק הנע לאורך קו ישר ללא השפעת פוטנציאל. המעבר למשוואה כללית יותר הלוקחת בחשבון גם השפעת פוטנציאל מתבצע על ידי ניחוש מושכל, שמתברר בניסויים כמוצדק. כמו כן, את הפיתוח עשינו אומנם בחד מימד, אך קל להראות שניתן להכליל אותו לתלת-מימד. השינוי יתבטא בהחלפת הנגזרת הכפולה לפי x, באופרטור הלפלסיאן. משוואת שרדינגר, על-כן היא:

 -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi + V \psi = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi

נגדיר את אופרטור ההמילטוניאן כך:

 H = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V

ונקבל את צורתה הכללית של המשוואה:

 H\psi = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi

משוואת שרדינגר בצורתה הכללית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכתיב הכללי ביותר (כתיב ברה-קט) משוואת שרדינגר נראית כך:

\ i \hbar \frac{d}{dt} | \psi \rang = H | \psi \rang

במשוואה זו:

כאשר H בלתי תלוי מפורשות בזמן, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:

\ | \psi _{(t)} \rang = e^{-iHt/\hbar} | \psi _{(0)} \rang

ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.

את הפתרון הנ"ל אפשר לפתח בבסיס המצבים העצמיים של ההמילטוניאן. נסמן \ H | n \rang = E_n | n \rang כאשר E_n הם האנרגיות העצמיות. מאחר ש-H הרמיטי, המצבים העצמיים אורתונורמלים, כלומר  \lang n | m \rang = \delta_{n,m} , ולכן אפשר להשתמש בהתמרת פורייה ולקבל ש:

 | \psi _{(t)} \rang = \sum_{n}{ e^{-iE_n t/{\hbar}} | n \rang
\lang n | \psi _{(0)} \rang }

משוואת שרדינגר בבסיס המקום[עריכת קוד מקור | עריכה]

בבסיס המקום במקום לדבר על מצב קוונטי ערטילאי, מדברים על המיקום והתנע של החלקיק. בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כסופרפוזיציה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.

\ \psi (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} \vec{p} \cdot \vec{r}} \ dp}

תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.

באופן פורמלי, פונקציית הגל \ \psi (\vec{r}) מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר:  \psi(\vec{r}) = \lang \vec{r} | \psi \rang .

בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ \ p = -i{\hbar} \vec{\nabla} ולכן משוואת שרדינגר נהיית:

i\hbar\frac{\partial\psi\left(t,\vec{r}\right)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi\left(t,\vec{r}\right)+V\left(\vec{r}\right)\psi\left(t,\vec{r}\right)

זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.

כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת פוטנציאל אלקטרו-מגנטי ההמילטוניאן הוא

 \mathcal{H} = \frac{(\vec{p} - e \vec{A} )^2 } {2 m } + e \varphi

כאשר A הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי ו-\varphi הוא הפוטנציאל החשמלי. במקרה זה יש להציב צורה זו במשוואת שרדינגר ולהחליף את התנע באופרטור גזירה כאמור לעיל.

פתרון המשוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

השיטה לפתור את המד"ח (משוואה דיפרנציאלית חלקית) של שרדינגר היא באמצעות הפרדת משתנים. מנחשים פתרון מהצורה

 \psi (t,\vec{r}) = e^{-iEt/{\hbar}} \Psi (\vec{r})

ואז עבור \Psi מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

 E \Psi (\vec{r}) = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \Psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \Psi (\vec{r})

זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות \Psi_n כך ש

 \ H \Psi_n = E_n \Psi_n ,

כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש  \lang \Psi_n | \Psi_n \rang = 1 . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.

מאחר שזו משוואה לינארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:

 \psi (t,\vec{r}) = \sum_{n}{ A_n \Psi_n (\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}E_n t}}

מאחר ש H הוא אופרטור הרמיטי, מובטח לנו ממשפט הילברט שקיים בסיס של מצבים עצמיים אורתונורמליים, כלומר \lang \psi_n | \psi_m \rang = \delta_{n,m}. לכן, ניתן להציג כל פונקציית גל במרחב הילברט של הבעיה כסכום (ליתר דיוק טור אינסופי) של המצבים העצמיים (כאשר מדובר בחלקיק חופשי, פיתוח כזה קרוי פיתוח פורייה).

את מקדמי הפיתוח A_n ניתן לקבוע באמצעות ידיעת פונקציית הגל ההתחלתית (כלומר: \ \psi (0,\vec{r}), באופן זהה לחלוטין הנעשה עבור טור פורייה כמו כן, נהוג לנרמל את פונקציית הגל כך ש:  \lang \psi | \psi \rang = 1.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פרופ' יורם קירש, "היקום על פי הפיזיקה המודרנית".