בעיית הזזת הספה

"ספת המרסלי", ששטחה 2.2074 אך ידוע שאינו השטח המקסימלי

בעיית הזזת הספּה (באנגלית: Moving sofa problem) היא הפשטה גאומטרית דו-ממדית של בעיה ממשית בעולם האמיתי, הנובעת מהזזת ריהוט בתוך מבנה צר. במוקד הבעיה ניסיון לגלות את שטחהּ המקסימלי A של צורה דו-ממדית ("הספה") אותה ניתן לתמרן דרך אזור מישורי בצורת האות "L" (ה"מסדרון"), שרוחבו יחידה אחת. חישוב הערך המדויק של A הוא בעיה פתוחה במתמטיקה.

היסטוריה

הפרסום הרשמי הראשון של הבעיה היה בשנת 1966, על ידי המתמטיקאי האוסטרי-קנדי ליאו מוסר . ידוע כי עוד קודם לכן היו התייחסויות בלתי-רשמיות לבעיה.

חסמים עליונים ותחתונים

למרות שגודלו המדויק של השטח A לא חושב, חושבו במרוצת השנים חסמים עליונים ותחתונים לגודלו האפשרי.

לדוגמה, ניתן לראות בקלות כי $\scriptstyle A\,\geq \,\pi /2\,\approx \,1.57079$, אם נבחר ספה בצורת חצי עיגול בעל רדיוס יחידה, אותה ניתן לסובב בפינת המסדרון.

המתמטיקאי הבריטי ג'ון המרסלי חישב בשנת 1968 את החסם התחתון $\scriptstyle A\,\geq \,\pi /2+2/\pi \,\approx \,2.2074$, תוך שימוש בצורת שפופרת טלפון: שני רבעי-עיגול ברדיוס יחידה בשני קצותיו של מלבן בגודל $\scriptstyle 1\times 4/\pi$, ממנו הוסר חצי עיגול ברדיוס $\scriptstyle 2/\pi \,$ (ראו תרשים מצורף).

בשנת 1992 חישב ג'וזף גרבר חסם תחתון גדול יותר, שערכו $\scriptstyle A\,\geq \,=2.21953166887197...$, באמצעות שינויים קלים שביצע על צורת הספה שגילה המרסלי.

מאידך, המרסלי חישב חסם עליון לשטח הספה, והוכיח כי הוא לא יכול לעלות על $\scriptstyle 2{\sqrt {2}}\,\approx \,2.8284$.

יואב קלוס ודן רומיק הוכיחו ביוני 2017 כי חסם עליון לשטח הספה הוא 2.37.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא בעיית הזזת הספה בוויקישיתוף

• The Sofa Problem, Neal R. Wagner, 1976
• Moving Sofa Constant, Steven Finch at MathSoft
• Moving Sofa Problem, Steven Finch at MathWorld

• בעיית הזזת הספה, באתר MathWorld (באנגלית)