חסם (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, חסם של תת קבוצה של קבוצה סדורה הוא איבר של הקבוצה הסדורה כך שמתקיים אחד משניים: או שהוא גדול או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה, או שהוא קטן או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה.

חסם יכול להיות שייך לקבוצה שאותה הוא חוסם, אך גם לא להיות שייך לה. למשל, חסם של הקבוצה {1,2,3} הוא 4, כי הוא גדול מכל אברי הקבוצה, אף שאינו שייך לקבוצה. לעומתו 3 הוא גם חסם של הקבוצה, וגם שייך לה. האיבר הגדול ביותר בקבוצה ששייך לה נקרא "מקסימום" והאיבר הקטן ביותר ששייך לה נקרא "מינימום", אך בקבוצות אינסופיות לא תמיד קיים איבר כזה.

לעתים מחפשים את החסם "המדויק ביותר", במובן זה שהוא גדול או קטן מכל אברי הקבוצה כך שאין חסם "טוב יותר", כלומר כזה שנמצא בינו ובין אברי הקבוצה. לכל קבוצה חסומה של מספרים ממשיים קיים חסם שכזה, והלמה של צורן מבטיחה קיום של חסם כזה גם בקבוצות כלליות יותר, בהינתן תנאים מסוימים.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ (X,\leq) קבוצה סדורה ותהא \ A\subseteq X תת-קבוצה שלה.

  • איבר \ x\isin X ייקרא חסם מלעיל של \ A אם לכל \ a\isin A מתקיים \ a\le x.
  • איבר \ x\isin X ייקרא חסם מלרע של \ A אם לכל \ a\isin A מתקיים \ x\leq a.

יש חשיבות רבה לחסם מלעיל "הקטן ביותר" ולחסם מלרע "הגדול ביותר", ולכן יש להם שמות משל עצמם:

  • חסם מלעיל \ x של \ A ייקרא חסם עליון (סוּפְּרִמוּם) של \ A אם לכל חסם מלעיל \ y של \ A מתקיים \ x\le y.
נהוג לסמן את החסם העליון של \ A ב-\sup A.
אם x\isin A אז \ x יקרא המקסימום של A ומסמנים x=\max A.
  • חסם מלרע \ x של \ A ייקרא חסם תחתון (אינפימום) של \ A אם לכל חסם מלרע \ y של \ A מתקיים \ y\leq x.
נהוג לסמן את החסם התחתון של \ A ב-\inf A.
אם x\isin A אז \ x יקרא המינימום של A ומסמנים x=\min A.


קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]