דרגה של נקודה

בגאומטריה, דרגה של נקודה ביחס למעגל נתון בעל רדיוס r היא הגודל $h = s^2 - r^2$, כאשר s הוא מרחק הנקודה ממרכז המעגל. הדרגה מוגדרת כאשר הנקודה נמצאת במישור של המעגל. הדרגה של נקודות הנמצאות מחוץ למעגל היא מספר חיובי, בתוכו שלילי, ועל המעגל - 0.

הדרגה שווה למכפלת אורכי הקטעים המתקבלים מחיתוך ישר דרך הנקודה עם המעגל, כאשר מכוונים את הקטעים כראוי, ואינה תלויה בבחירת הישר. בשרטוט, הדרגה היא המכפלה $h=|PM| \cdot |PN| = |PA| \cdot |PB|$. המושג נטבע ונחקר על ידי יאקוב שטיינר.

הגדרות נוספות

אם הנקודה מחוץ למעגל, הדרגה שלה שווה לריבוע אורך המשיק למעגל היוצא ממנה. עובדה זו נובעת ממשפט פיתגורס: המשולש PTO ישר-זווית, ולכן $|PT|^2+|TO|^2=|PO|^2$.

המקום הגאומטרי של כל הנקודות בעלות אותה דרגה במרחב: פרבולואיד

אם נסתכל על המעגל במערכת צירים קרטזית כמעגל קנוני שרדיוסו r, נקבל שהדרגה של נקודה $(x,y)$ היא: $(\sqrt {(x-0)^2+(y-0)^2})^2-r^2 = x^2+y^2 - r^2$. מכך ניתן לראות שאם נשרטט במרחב את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שדרגתן שווה, נקבל פרבולואיד.

שימושים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

ניתן להשתמש בדרגה כדי להגדיר מקומות גאומטריים הקשורים למעגל. לדוגמה, ציר רדיקלי הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שדרגתן ביחס לשני מעגלים נתונים היא שווה.

קישורים חיצוניים

• דרגה של נקודה, באתר MathWorld (באנגלית)
• יאקוב שטיינר ודרגה של נקודה (באנגלית)