הלמה של נקאימה

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג $R$.

לפי הלמה, $J(R)\cdot M\neq M$ לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, $M$, כאשר אם $J=J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של $R$. הטענה חשובה במיוחד כאשר $R$ חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר $M$ נוצר סופית, $\ J\cdot M+N\neq M$ לכל תת-מודול $N<M$; כלומר, המכפלה $J(R)\cdot M$ קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל-$M$ על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-$M$ כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי ${\mathcal {F}}$ אלומה קוהרנטית. אז הנבט ב-$x$, המסומן ב${\mathcal {F}}_{x}$, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה $U$ של $x$ כך ש-${\mathcal {F}}|_{U}=0$.

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית $M$ מעל חוג $R$ ולכל אידיאל $I$ ב-$R$, אם $IM=M$ אז קיים $a\in I$ שעבורו $\left(1+a\right)M=0$. כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד $a\in I$ כך שלכל $m\in M$ מתקיים $am=m$.

הוכחה

נניח כי $M$ הוא $R$-מודול נוצר סופית השונה מ-$0$. מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש-$M$ נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול $M'\subset M$ מקסימלי (כלומר, $M'$ אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של $M$). מכך נובע כי $M/M'$ הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי $m$ ב-$R$ כך ש-$M/M'\cong R/m$. אבל $J(R)\cdot R/m\subset m\cdot R/m=0$, ולכן $J(R)\cdot M/M'=0$. מכאן ש-$J(R)\cdot M\subseteq M'\neq M$.

לקריאה נוספת

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.