השערה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, השערה היא טענה שהועלתה על ידי מתמטיקאי אך עדיין לא ניתנה לה הוכחה או נמצאה דוגמה נגדית המפריכה אותה. טענות לא מעטות דרשו מאות רבות של שנים עד להוכחתן או להפרכתן, כלומר במהלך כל השנים הללו הייתה כל אחת מהן בגדר השערה בלבד.

דוגמאות לכך הן המשפט האחרון של פרמה שזכה להוכחה כשלוש מאות וחמישים שנה לאחר שהועלה או השערת טניאמה-שימורה שהוכחה בשנות התשעים. שלוש הבעיות של ימי קדם הן דוגמה לבעיות שהופרכו כאלפיים שנה לאחר שהוצגו.

בעיות פתוחות (כאלה שטרם זכו להוכחה או להפרכה) רבות ממשיכות ללוות את המתמטיקה, ובין המפורסמות שבהן ניתן למנות את השערת גולדבך והשערת רימן.

האם כל השערה ניתנת להוכחה או להפרכה? אם נוכיח שהשערה מסוימת אינה ניתנת להוכחה ואף לא להפרכה, כפי שהוכח לגבי השערת הרצף, נוכל לצרף את ההשערה הזו (או את שלילתה) לאוסף האקסיומות שלנו.
האם בדרך זו נוכל להרחיב את אוסף האקסיומות, כך שנגיע למצב שבו כל טענה תהיה ניתנת להוכחה או להפרכה? תשובה לשאלה זו ניתנה בשנת 1931 במשפט אי השלמות של גדל: תמיד יהיו השערות שאינן ניתנות להוכחה ואף לא להפרכה.

במהלך השנים שבהן ההשערה קיימת ללא הוכחה, היחס אליה מתבסס על אמונה, מושג שזר לעולמה של המתמטיקה, אך אינו זר לעולמם של המתמטיקאים, שגם הם עשויים בשר ודם. האמונה בנכונותה של השערה מסוימת, יחד עם חוסר האונים להוכיחה, גורמת לעתים למתמטיקאים לפתח תאוריות המתבססות על אמונה זו, תוך ידיעה ברורה שכל ההוכחות הנשענות על ההשערה עלולות להתברר כלא נכונות ברגע שבו תופרך ההשערה. מאידך, כל ההוכחות הנשענות על ההשערה יהפכו למתמטיקה מוצקה ברגע שתוכח ההשערה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • בעיות פתוחות במתמטיקה. בעיות שהיו בגדר השערות במשך מאות שנים אך כעת כבר יש להן הוכחה, וכן השערות שעדיין לא נמצאה להן הוכחה.