אנדרו ויילס

אנדרו ויילס Andrew Wiles נולד ב-1953
תרומות עיקריות
הוכיח את המשפט האחרון של פרמה
נתונים נוספים ענף מדעי מתמטיקה ארצות מגורים בריטניה, ארצות הברית פרסים והנצחה פרס פרס וולפשקל

סר אנדרו ויילס (אנגלית: Andrew Wiles; נולד ב-11 באפריל 1953), מתמטיקאי בריטי שחי בארצות הברית, התפרסם לאחר שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה.

ויילס למד בבית הספר לייס שבקיימברידג', וב-1974 קיבל תואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת אוקספורד. ב-1979 השלים עבודת דוקטורט בקולג' קלייר שבאוניברסיטת קיימברידג', תחת הנחייתו של ג'ון קוטס. כעת הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון.

ויילס נודע ברבים לאחר שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה, אבל היו לו מוניטין של חוקר מבריק בתורת המספרים כבר בזמן שעבד עם קוטס על עקומים אליפטיים, שעה שהשניים עשו את הצעדים הראשונים להוכחתה של השערת בירץ' וסווינרטון-דייר (אחת מבעיות המילניום של מכון קליי). יחד עם בארי מזור הוא עשה עבודה חשובה לגבי ההשערה המרכזית של תורת איווסווה.

גם לאחר שפתר בעיה שנחשבה לאתגר הגדול של תורת המספרים, המשיך ויילס לחקור בתחום, והוא נחשב למומחה מוביל בעקומים אליפטיים בכלל ובהשערת בירץ' וסווינרטון-דייר בפרט. בשנת 1999 חנך את "מרכז ויילס לטכנולוגיה" בבית הספר היוקרתי קינגס קולג' שבאנגליה.

עניין במתמטיקה מגיל צעיר

ויילס גדל בעיר קיימברידג' שבאנגליה. מילדותו אהב לפתור את הבעיות המתמטיות שפגש בבית ספר, וחיבר כמה בעיות משלו. המשפט האחרון של פרמה לכד את תשומת לבו, מפני שזוהי בעיה שקל להציג ולהבין, ובכל זאת היא עמדה בפני נסיונות ההוכחה של המתמטיקאים במשך מאות שנים. כאשר ויילס היה בן 10, הוא מצא בספרייה העירונית את הספר "הבעיה האחרונה" שכתב אריק טמפל בל על המשפט, וניסה לפתור את הבעיה בעצמו, בחושבו שאולי יצליח לגלות משהו שנעלם מעיני אחרים. הוא למד שיטות שונות שפותחו כדי להתמודד עם הבעיה, אבל החליט שהן אינן מספיקות. כשסיים את לימודי התואר הראשון עזב את הבעיה, ועבר לעבוד תחת הנחייתו של קוטס.

עקומים אליפטיים, תבניות מודולריות והמשפט האחרון של פרמה

בשנות החמישים והשישים הגו המתמטיקאים היפנים יוטקה טניאמה וגורו שימורה השערה שקישרה עקומים אליפטיים לתבניות מודולריות. ההשערה נודעה במערב לאחר שאנדרה וייל הקדיש לה מאמר שבו הציג ראיות התומכות בה. כבר לפני שנמצאה הוכחה להשערת טניאמה-שימורה, נכתבו מאמרים על התוצאות שאפשר יהיה להסיק ממנה, כאשר תוכח.

אחת התוצאות, שאותה הוכיח קן ריבט ב-1986, הראתה שממשפט טניאמה-שימורה, אפילו אם הוא נכון רק במקרה ה"יציב למחצה", נובע המשפט האחרון של פרמה. עבודתו זו של ריבט הביאה את ויילס להפנות את עיקר מרצו להוכחת ההשערה של טניאמה ושימורה, מאחר שכעת היה ברור שהוכחה כזו תפתור גם את האתגר מן המאה השבע-עשרה, המשפט האחרון של פרמה.

חוקרים רבים סברו שאין כל דרך לתקוף את השערת טניאמה-שימורה, הקובעת כאמור שכל עקום אליפטי רציונלי הוא מודולרי, מפני שאפילו לא היה ידוע אם לשני המבנים יש אותו מספר של פונקציות L. ריבט סובר שאפשר לייחס את הצלחתו של ויילס בפתרון השערת טניאמה-שימורה לכך שהייתה לו התעוזה לתקוף את ההשערה למרות קשיים אלה. למרות שוויילס הסתפק, בתחילה, בפתרון המקרה היציב למחצה, התברר שמקרה זה אינו קל בהרבה מן ההשערה המלאה.

בתחילת עבודתו של ויילס על השערת טניאמה-שימורה, הוא נהג להזכיר את הבעיה של פרמה בפני עמיתיו, אבל העניין שאזכורים כאלה עוררו הרתיע אותו. הוא רצה להתרכז בבעיה, וביקש לעבוד לבדו (סיימון סינג משער שרצונו של ויילס לסיים את ההוכחה בכוחות עצמו, תרם לבידוד מרצון). במשך אותן שנים, ויילס המשך לעבוד בפרינסטון. הוא כתב מאמרים על נושאים רחוקים מהשערת טניאמה-שימורה, המשיך להיות נוכח בסמינרים, להרצות ולהנחות סטודנטים.

ההשערה של טניאמה-שימורה היא, בסופו של דבר, בעיה של ספירת הנקודות שיש לעקום אליפטי כאשר מצמצמים אותו לשדה סופי. לשם כך, חקר ויילס הצגות גלואה (שהן הצגות של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים) המתקבלות מן העקום האליפטי, תבניות מודולריות, וערכים מיוחדים של פונקציות L המתאימות.

הצהרה על ההוכחה

ביוני 1993 העביר ויילס סדרה בת שלוש הרצאות תחת הכותרת "תבניות מודולריות, עקומים אליפטיים והצגות גלואה" במכון אייזק ניוטון, במסגרת כנס על פונקציות L ואריתמטיקה. המארגנים הקצו לו בתחילה רק יומיים, אבל ג'ון קוטס ויתר על זמן ההרצאה שלו כדי לאפשר לו לסיים את הנושא.

לאחר ההרצאות אמר בארי מזור שלמרות הרעיונות המבריקים הרבים בסדרה, המתח נשמר עד לסוף ההרצאה האחרונה.

המאמר של ויילס

את המאמר שכתב על ההוכחה של המקרה היציב-למחצה של השערת טניאמה-שימורה (שממנו, כאמור, נובע המשפט האחרון של פרמה), הגיש ויילס לכתב העת החשוב Inventiones Mathematicae, ובארי מזור, אחד העורכים, הרכיב צוות של שישה אנשים לצורך ביקורת עמיתים למאמר. בצוות כלל מזור את קן ריבט, ניק כץ וריצ'רד טיילור. בגרסה הראשונה, ההוכחה נצרכה לבניה של "מערכת אוילר", שהצוות מצא בה פגם מהותי. במשך שנה חשב ויילס שלמרות העבודה הרבה והתוצאות החשובות שהשיג, לא ניתן לגשר על הפער ולהגיע אל המטרה הנכספת. לפני שנכנע, הוא החליט לנסות נסיון אחרון, בעזרת טיילור, שכתב את עבודת הדוקטורט שלו תחת ויילס ב-1988. הגרסה הסופית של ההוכחה של ויילס, שונה מן הגרסה המקורית, פורסמה בגיליון 141 של ה-Annals of Mathematics בשנת 1995, יחד עם מאמר תומך שכתבו ויילס וטיילור במשותף, ונקראה "תכונות בתורת החוגים של אלגברות הקה מסוימות".

ההוכחה המלאה של השערת טניאמה-שימורה

לאחר שההתפעלות מן ההישג שבהוכחת משפט פרמה שככה, העבודה הוצגה בתור צעד חשוב לקראת מטרה חשובה אף יותר - השערת טניאמה-שימורה המלאה, העומדת במרכז התורה האריתמטית של עקומים אליפטיים. למרבה ההפתעה, מטרה זו הושגה בתוך זמן קצר יחסית, בשנת 1999, כאשר טיילור נעזר ברעיונות של ויילס כדי לפתור את השערת ארטין עבור הצגות גלואה שבהן המסלול של הנקודה 1/2 תחת פעולת חבורת המטריצות $\ PGL_2(\mathbb{C})$ מתאים לחבורת התמורות הזוגיות $\ A_5$ .

פרסים

לויילס הוענקו מספר פרסים מרכזיים במתמטיקה: פרס רולף שוק למתמטיקה (1995), המדליה המלכותית (1996), פרס קול (1996), פרס וולף (1996),פרס וולפשקל (1997) פרס המלך פייסל (1998), פרס המחקר של מכון קליי (1999) ופרס שאו (2005). ויילס הוכתר כאביר של מסדר האימפריה הבריטית בשנת 2000. ויילס הוכיח את משפט פרמה כשהיה בן 41, וכך לא יכול היה לזכות במדליית פילדס, המוענקת על-פי צוואתו של ג'ון צ'ארלס פילדס למתמטיקאים מתחת לגיל 40. כתחליף לכך הוענק לו לוח כסף מאת האיחוד הבינלאומי למתמטיקה (1998).

תלמידים

ויילס הנחה כ-14 תלמידים בעבודת הדוקטורט שלהם. ביניהם ריצ'רד טיילור ואהוד דה-שליט, שהיה מראשוני תלמידיו, ומכהן כיום כפרופסור למתמטיקה באוניברסיטה העברית בירושלים.

לקריאה נוספת

• סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2000.

קישורים חיצוניים

• Henri Darmon: A Proof of the Full Shimura-Taniyama-Weil Conjecture Is Announced, Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), No. 11. מבוא למשפט, וסקירה של ההוכחה
• ביוגרפיה של אנדרו ויילס, באתר MacTutor (באנגלית)
• גנאלוגיה מתמטית של אנדרו ויילס, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה