23 הבעיות של הילברט
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
הבעיות של הילברט הן רשימה של 23 בעיות פתוחות במתמטיקה, שהוצגה על ידי המתמטיקאי דויד הילברט ב-8 באוגוסט 1900 בוועידת פריז של הקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים. כל השאלות שהוצגו היו בלתי-פתורות באותה תקופה, ולרבות מהן הייתה השפעה ניכרת על המתמטיקה של המאה ה-20.
בקונגרס הוצגו רק 10 מן השאלות (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ו-22) והרשימה המלאה התפרסמה רק מאוחר יותר. להלן כל 23 השאלות שהציג הילברט ומצבן הנוכחי:
| מספר הבעיה | תיאורה | מצבה העדכני |
|---|---|---|
| בעיה 1 | השערת הרצף | נפתרה על ידי גדל וכהן |
| בעיה 2 | להוכיח שמערכת האקסיומות של האריתמטיקה היא עקבית | משפט אי-השלמות השני של גדל מראה שהמשימה בלתי אפשרית |
| בעיה 3 | האם אפשר להוכיח שוויון נפחים של שני טטראדרים באמצעות חיתוך | מקס דהן הראה שהתשובה שלילית |
| בעיה 4 | למצוא גאומטריות שבהן האקסיומות קרובות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, תוך שמירה על אקסיומות החילה, החלשת אקסיומות הסדר, וויתור על אקסיומת המקבילים | נפתרה על ידי ג'ורג' המל |
| בעיה 5 | האם חבורות רציפות הן בהכרח גזירות? | נפתרה, חלקית, על ידי אנדרו גליסון |
| בעיה 6 | ניסוח אקסיומטי של כל החוקים הפיזיקליים | לא נפתרה |
| בעיה 7 | האם ab טרנסצנדנטי, כאשר a ≠ 0,1 אלגברי ו-b אלגברי אי-רציונלי ? | תשובה חיובית: משפט גלפונד |
| בעיה 8 | בעיות בתורת המספרים: הוכחת השערת רימן והשערת גולדבך | שתי הבעיות פתוחות |
| בעיה 9 | הכללת חוק ההדדיות הריבועי לכל שדה מספרים | נפתרה להרחבות אבליות |
| בעיה 10 | למצוא אלגוריתם שייקבע, בהינתן משוואה דיופנטית, האם היא פתירה | נפתרה: התשובה שלילית, לא קיים אלגוריתם שכזה. |
| בעיה 11 | פתרון של משוואות ריבועיות במספר משתנים, עם מקדמים אלגבריים | נפתרה חלקית |
| בעיה 12 | הכללת משפט קרונקר-ובר על ההרחבות האבליות של המספרים הרציונליים לשדה מספרים כלשהו. | פתוחה |
| בעיה 13 | פתרון משוואות ממעלה שביעית באמצעות פונקציות של שני משתנים | פתרון חיובי: ולדימיר ארנולד |
| בעיה 14 | האם מערכות שלמות מסוימות של פונקציות הן סופיות? | בדרך כלל התשובה שלילית |
| בעיה 15 | ביסוס מסודר של תחשיב שוברט | נפתרה |
| בעיה 16 | מציאה ופיתוח טופולוגיה של עקומות ומשטחים אלגבריים ממשיים. | פתוחה |
| בעיה 17 | הצגת פונקציה רציונלית חיובית כסכום ריבועים של פונקציות רציונליות | נפתרה לחיוב על ידי אמיל ארטין, 1927 |
| בעיה 18 | האם יש פאון קמור לא רגולרי שממלא את המרחב? מהי האריזה היעילה ביותר של ספרות במרחב? (השערת קפלר) |
כנראה נפתרה |
| בעיה 19 | האם הפתרונות של לגראנז'יאן הם תמיד אנליטיים? | נפתרה (Ennio de Giorgi וג'ון נאש) |
| בעיה 20 | האם לכל הבעיות בחשבון וריאציות עם תנאי שפה מסוימים, יש פתרונות? | נפתרה |
| בעיה 21 | הוכחת קיום של משוואה דיפרנציאלית לינארית עם חבורת מונודרומיה נתונה | נפתרה |
| בעיה 22 | האחדה של יחסים אנליטיים באמצעות פונקציות אוטומורפיות | נפתרה |
| בעיה 23 | התפתחות נוספת בתחום חשבון הווריאציות | נפתרה |
לפי דבריהם של ראו וגריי (Rowe & Gray, ראו הפניה בהמשך), רוב השאלות שהוצגו על ידי הילברט בשנת 1900, נפתרו. חלק מהן לא הוגדרו היטב, אבל הושגה התקדמות מספקת על מנת להגדירן כ"פתורות". ראו וגריי מציינים את הבעיה הרביעית כמעורפלת מדי מכדי להחליט אם היא נפתרה או לא.
כמו כן, הם מנו את הבעיה השמונה-עשרה כבעיה פתוחה, בזמן הוצאת ספרם בשנת 2000 וזאת מכיוון ש"בעיית סידור התפוזים במרחב", הידועה גם כהשערת קפלר נשארה בלתי-פתורה, אבל בימים אלו נבדק פתרון שהוצע (ראו הפנייה בהמשך). כרגע קיים עיכוב בבדיקת הטענה משום שראש צוות הבדיקה הודיע כי בגלל עומס הפרטים בהוכחה אין הוא יכול להכריע לגבי נכונתה. יתר על-כן, נרשמו בעשור האחרון התקדמויות גם בפתרון הבעיה השש-עשרה.
בעיה 8 מכילה שתי שאלות מפורסמות, אשר שתיהן נשארו בלי פתרון. הראשונה שבהן, השערת רימן, היא אחת משבע השאלות של פרס המילניום של קליי, אשר אמורות להוות "רשימת הילברט" חדשה למאה ה-21.
[עריכה] הבעיה העשרים וארבע
בזמן הכנת רשימת הבעיות עמדו בפני הילברט עשרים וארבע שאלות רשומות, אך הילברט החליט שלא לצרף אחת מהן לרשימתו הסופית. הבעיה העשרים וארבע עסקה בהוכחת השערה הנוגעת לפשטות ושיטות כלליות. בעיה זו התגלתה על ידי ההיסטוריון Rüdiger Thiele.
[עריכה] לקריאה נוספת
- Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press.
