חלקיק חופשי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בפיזיקה חלקיק חופשי הוא חלקיק הנע באופן חופשי ללא השפעת שום כוח (לא נע תחת שום השפעה של פוטנציאל חיצוני).

בעיית החלקיק החופשי היא אחת הבעיות הפיזיקליות הפשוטות ביותר וניתנת לפתרון באופן מדויק במסגרות תאורטיות שונות (מכניקה קלאסית, מכניקה קוונטית ועוד). הבעיה משמשת כדוגמה ראשונית בלימוד התאוריות הנ"ל ובסיס לפתרון בעיות מסובכות יותר.

במכניקה קלאסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת F=0 בחוק השני של ניוטון, נותנת:

\ m \ddot{x} = 0.

פתרון המשוואה על ידי אינטגרציה נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד:

\ x(t) = x_0 + v_0 t

כאשר \ x_0 , v_0 הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה.

ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה משוואת התנועה תהיה:

\ \vec{x}(t) = \vec{x_0} + \vec{v_0} t

מן הפתרונות ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר.

במכניקה אנליטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:

\ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2

עבור חלקיק רב-ממדי, \vec{x} יהיה וקטור d-ממדי, ואז:

\ L = \frac{1}{2} m \left( \frac{ d \vec{x}}{dt} \right)^2

מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות משוואות אוילר-לגראנז'.

ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:

\ H = \frac{p^2}{2 m}

כאשר p הוא התנע של החלקיק.

במכניקת הקוונטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר

\ i \hbar \frac{\partial \psi (\vec{x})}{\partial t} = H \psi ( \vec{x} )

כאשר

\ H = \frac{p^2}{2 m} = \frac{ \hbar ^2 k^2}{2m} = - \frac{\hbar^2}{2m} {\nabla}^2

הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.

הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים

\ \psi ( \vec{x} ) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \vec{p} \cdot \vec{x} / \hbar} = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} }

ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן

 \ \hbar \omega = E_k = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m}

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:

\left.\right.
\psi(\vec{x}, t) = \int
\phi(\vec{k})e^{i(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t)}
d\vec{k}

אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא:

 \ \psi_{x_0}(x_f,t) = G(x_f, t ; x_0, 0) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar t}} \exp{ \left( \frac{i m}{2 \hbar t} (x_f - x_0)^2 \right) }

בתורת שדות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]