פונקציית גל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לפשט ערך זה
הערך מנוסח באופן טכני מידי, וקשה להבנה לקהל הרחב. יש להוסיף לערך זה מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בערך בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות. אם אתם סבורים כי הערך אינו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

פונקציית הגל היא מצב קוונטי המייצג את מיקומו של חלקיק במרחב ומהווה פתרון למשוואת הגלים של שרדינגר. במובנה המורחב, "פונקציית גל" היא שם נרדף למצב הקוונטי של החלקיק. במובנה המצומצם, היא מתייחסת רק לתיאור המקום של חלקיק במרחב. ערך זה דן בפונקציית הגל במובנה המצומצם.

את פונקציית הגל נהוג לסמן כ- $\ \psi (\vec{r},t)$ . כאן $\ \vec{r}$ - וקטור המקום ו- $\ t$ הוא הזמן. הפונקציה היא פתרון של משוואת שרדינגר, ומשמעותה היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום ובזמן מסוימים במרחב. ככל שהמשרעת (אמפליטודה) $\ \psi (\vec{r})$ גדולה יותר עבור $\vec{r}$ מסוים, כך גדלים הסיכויים שאם נמדוד את מיקום החלקיק, נמצא את החלקיק בקרבת אותו מקום $\vec{r}$ . הפונקציה מנורמלת כך שסכימה שלה על כל המרחב והזמן תיתן 1.

[עריכה] הגדרה פורמלית

בסימון דיראק המצב הקוונטי של חלקיק מיוצג על ידי $\ | \psi \rang$ , וקטור מופשט במרחב הילברט. באופן פורמלי, פונקציית הגל $\ \psi (\vec{r})$ מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר: $\psi(\vec{r}) = \lang \vec{r} | \psi \rang$ . המשמעות של פונקציית הגל היא כזאת: צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום $\ \vec{r} = \vec{r_0}$ היא

$\ \mbox{Prob} \left( \psi , \vec{r}=\vec{r_0} \right) = \left| \lang \vec{r_0} | \psi \rang \right| ^2 = | \psi (\vec{r_0}) |^2$

כדי שפונקציה $\ \psi (t, \vec{r})$ תהיה אכן "פונקציית גל" עליה לפתור את משוואת שרדינגר בהצגה המרחבית. משוואת שרדינגר בבסיס זה היא מהצורה:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (t,\vec{r})$

ואפשר להסיקה על ידי ביטוי ההמילטוניאן $\ H (\vec{r} , \vec{p})$ של החלקיק והסתמכות על העובדה שבהצגת המרחב, אופרטור התנע מוצג כ $\ p = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}$ .

כדי למצוא את פונקציית הגל של חלקיק המצוי תחת השפעת פוטנציאל $\ V(\vec{r})$ יש לפתור את משוואת שרדינגר הרשומה לעיל. במהלך הפתרון אפשר למצוא מצבים קשורים, מצבים בהם מתקיימת קוונטיזציה של המצבים המותרים שהחלקיק יכול להימצא בהם (מרצף מצבים של חלקים חופשים למספר בן מנייה של מצבים).

[עריכה] התפתחות המושג

התפתחות מושג פונקציית הגל באה מההתנהגות הכמו-גלית של חלקיקים, שנצפתה בניסויים. בניסויים אלה נראה שהאלקטרון מתנהג כאילו מיקומו "מרוח" על כל המרחב והוא נמצא במספר רב של מקומות בו-זמנית כל עוד לא מודדים באיזה מקום הוא נמצא.

בעקבתו ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כהרכבה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק. שיקולים סמי-קלאסיים על תכונות של גלים הביאו להצעת הצורה הכללית של פונקציית הגל של חלקיק חופשי:

$\ \psi (\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} \vec{p} \cdot \vec{r}} \ dp}$

כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית). תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.

כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר שוב שיקול סמי-קלאסי. עבור גל אור מקוונטט $\ A = e^{i(kx - \omega t)}$ מתקיימים הקשרים הבאים:

$\ E = p c$ כאשר E אנרגיה, p הוא תנע ו-c מהירות האור.

$\ E = \hbar \omega \quad \quad ; \quad \quad k = \hbar p$

אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש

$\ E = \frac{\vec{p}^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

ולכן

$\psi (t, \vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} ( \vec{p} \cdot \vec{r} - E_p t)} \ dp} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int{ \phi (\vec{p}) e^{{i \over \hbar} ( \vec{p} \cdot \vec{r} - {p^2 \over 2m} t)} \ dp}$

בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ $\ p = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}$ ולכן משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי היא:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r})$

(ניתן לראות זאת על ידי חישוב מפורש של שני אגפי המשוואה ושימוש בתכונות של נגזרות חלקיות).

כדי להכליל עבור מקרה בו החלקיק איננו חופשי, אלא נתון תחת השפעת פוטנציאל, מוסיפים את הפוטנציאל למשוואה באופן הבא:

$\ i \hbar \frac{ \partial \psi (t,\vec{r})}{\partial t} = \frac{- \hbar ^2}{2m} \nabla ^2 \psi (t,\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (t,\vec{r})$

הביטוי באגף ימין הוא ההמילטוניאן H שפועל על פונקציית הגל ומכך ניתן להסיק את הצורה הכללית של משוואת שרדינגר.

[עריכה] קריסת פונקציית הגל

קריסת פונקציית הגל היא ההסבר (או ליתר דיוק, תיאור) לתופעה שבה בכל עת שמבצעים מדידה, פונקציית הגל עוברת ממצב של סופרפוזיציה למצב עצמי מובחן, לפי פרשנות קופנהגן. קריסת פונקציית הגל היא תוספת חיצונית למכניקת הקוונטים ולא חלק מהפורמליזם של שרדינגר, ונילס בוהר הוסיף אותה על מנת להסביר את התופעה הניסיונית שבה כאשר מבצעים מדידה כלשהי על חלקיק קוונטי (כגון אלקטרון), אחרי שנמדד ערך מסוים, מדידות חוזרות יראו רק את הערך הזה ולא שום ערך אחר.

בסימון דיראק אפשר לבטא את קריסת פונקציית הגל כך:

נניח שלפני המדידה קיים חלקיק בסופרפוזיציה של שלושה מצבים עצמיים (בלי הגבלת כלליות, שווי הסתברות):

$\ | \psi \rang = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( | 1 \rang +| 2 \rang + | 3 \rang \right)$

נניח שמבצעים עליו מדידה, שמבדילה בין שלושת המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו יוניטרי). אם במדידה מקבלים את הערך העצמי "2", אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא $\ | 2 \rang$ והתוצאה של כל מדידה נוספת תהיה תמיד "2".

קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן. קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, שבהם פונקציית הגל איננה קורסת, אחד מהם הוא פירוש העולמות המרובים.