טריגונומטריה ספירית

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית מתעסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

• הזוויות שבין צלעות המצולע. (יסומונו בהמשך באותיות A,B,C או $\alpha , \beta , \gamma \,$).
• הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות $a' , b' , c' \,$).

(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : $a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \,$ ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר זווית הם $\ a$ ו-$\ b$, ואורך היתר הוא $\ c$, אז $\ a^2+b^2=c^2$. בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: $\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right)$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה $\cos {\alpha} \,$ לטור מקלורן: $\cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...$
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: $\left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right )$.
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2R^2 \,$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R \to \infin$ את משפט פיתגורס בגירסתו האוקלידית: $a^2+b^2=c^2 \,$.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: $B(R,0,0) \,$ , $C(R \cos (a'),R \sin (a'),0) \,$ , $A(R cos (a') \cos (b') ,R \sin (a') \cos (b'),R \sin (b')) \,$.

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: $\cos (c')= \frac {OA \cdot OB} {\| OA \| \| OB \|}=\cos (a') \cos (b')$.

הצבת השוויונות: $a'=\tfrac a R ,b'=\tfrac b R , c'=\tfrac c R \,$ במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: $\cos \left(\tfrac{c}{R}\right)=\cos \left(\tfrac{a}{R}\right)\,\cos \left(\tfrac{b}{R}\right)$.

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה $\gamma = 90^0$.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $\ a, b, c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha, \beta, \gamma$ בהתאמה, מתקיים: ${a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}$.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: $\frac{\sin \tfrac a R}{\sin \alpha}=\frac{\sin \tfrac b R}{\sin \beta}=\frac{\sin \tfrac c R}{\sin \gamma}$.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה $\sin{\alpha} \,$ לטור מקלורן: $\sin \alpha =\alpha+ ...\,$.

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R \to \infin$  : $\frac{\tfrac a R +...}{\sin \alpha}=\frac{\tfrac b R +...}{\sin \beta}=\frac{\tfrac c R +...}{\sin \gamma}$.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:${a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}$.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי $AF \perp OC$ , $AE \perp OB$ וגם $\angle {AED}=\beta$ , $\angle {AFC}=\gamma$.

במשולש AED מתקיים: $\sin {\beta}=\tfrac {AD} {AE}$ ובמשולש AFD מתקיים: $\sin {\gamma}=\tfrac {AD} {AF}$ ולכן $\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {AF} {AE}$.

במשולש AOE מתקיים: $\sin {c'}=\tfrac {AE} R$ ובמשולש AOF מתקיים: $\sin {b'}=\tfrac {AF} R$ .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: $\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {b'}} {\sin {c'}}$, כלומר:$\frac {\sin \beta} {\sin \gamma} = \frac {\sin {\frac b R}} {\sin {\frac c R}}$.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן $\ a, b, c$ והזוויות שמולן הן $\ \alpha, \beta, \gamma$ בהתאמה, מתקיים: $\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: $\, \cos \frac c R = \cos \frac a R \cdot \cos \frac b R + \sin \frac a R \cdot \sin \frac b R \cdot \cos \gamma$.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: $\, \cos \gamma = - \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \frac c R$).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות $\cos{\alpha} , \sin{\alpha} \,$ לטור מקלורן: $\cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...$ , $\sin \alpha =\alpha+ ...\,$.

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: $\left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right )+\left (\frac {a \cdot b} {R^2} \cdot \cos {\gamma} + ...\right )$.

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם $2R^2 \,$, מקבלים כאשר רדיוס הכדור $\,R \to \infin$ את משפט הקוסינוסים בגירסתו האוקלידית: $\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$.

הוכחת המשפט:

זהויות

מכפלת סינוס וקוסינוס	$\, \sin a' \cdot \cos \beta = \cos b' \cdot \sin c' - \sin b' \cdot \cos c' \cdot \cos \alpha$
מכפלת סינוס וקוטנגנס	$\, \sin \alpha \cdot \cot \beta = \cot b' \cdot \sin c' - \cos c' \cdot \cos \alpha$
משפט הטנגסים	$\frac{\tan{\frac{ a' + b' }{2}}}{\tan{\frac{ a' - b' }{2}}} = \frac{\tan{\frac{\alpha+\beta }{2}}}{\tan{\frac{\alpha-\beta }{2}}}$
נוסחאות נפייר	$\tan{\frac{a'+b'}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha+\beta }{2}} = \tan{\frac{c'}{2}} \cdot \cos{\frac{\alpha-\beta }{2}}$ $\tan{\frac{\alpha+\beta }{2}} \cdot \cos{\frac{a'+b'}{2}} = \cot{\frac{\gamma}{2}} \cdot \cos{\frac{a'-b'}{2}}$ $\tan{\frac{a'-b'}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha+\beta }{2}} = \tan{\frac{c'}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha-\beta }{2}}$ $\tan{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{a'+b'}{2}} = \cot{\frac{\gamma}{2}} \cdot \sin{\frac{a'-b'}{2}}$
נוסחאות דלמבר	$\sin{\frac{a'+b'}{2}} \cdot \sin{\frac{\gamma}{2}} = \cos{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{c'}{2}}$ $\sin{\frac{a'-b'}{2}} \cdot \cos{\frac{\gamma}{2}} = \sin{\frac{\alpha-\beta }{2}} \cdot \sin{\frac{c'}{2}}$
חצי זווית (סימון: $s = \frac{a'+b'+c'}{2}$).	$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b') \cdot \sin(s-c')}{\sin b' \cdot \sin c'}}$ $\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s) \cdot \sin(s-a')}{\sin b' \cdot \sin c'}}$ $\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b') \cdot \sin(s-c')}{\sin s \cdot \sin (s-a')}}$
חצי צלע (סימון: $\sigma = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}$ ).	$\sin{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{-\cos\sigma \cdot \cos(\sigma-\alpha)}{\sin\beta \cdot \sin\gamma}}$ $\cos{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{\cos(\sigma-\beta) \cdot \cos(\sigma-\gamma)} {\sin\beta \cdot \sin\gamma}}$ $\tan{\frac{a'}{2}} = \sqrt{\frac{-\cos\sigma \cdot \cos(\sigma-\alpha)} {\cos(\sigma-\beta) \cdot \cos(\sigma-\gamma)} }$

קישורים חיצוניים

• טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)