מצולע

בגאומטריה, מצולע הוא צורה דו-ממדית (מישורית) עשויה קו שבור סגור שאינו חותך את עצמו. כל קטע במצולע נקרא צלע, וכל נקודה בה נפגשות שתי צלעות נקראת קודקוד. כל שתי צלעות שנפגשות בקודקוד יוצרות זווית.

צלעות סמוכות במצולע הן שתי צלעות שיש להן קודקוד משותף.

זוויות סמוכות במצולע הן שתי זוויות הנשענות על אותה הצלע.

מינוח

המצולעים נקראים על פי מספר הצלעות, לדוגמה: במרובע ישנן ארבע צלעות, במחומש ישנן חמש צלעות, במשושה שש צלעות וכך הלאה. ניתן ליצור אינסוף מצולעים. בטבלה שלהלן מצויים שמות עשרת המצולעים הראשונים:

שמות המצולעים
שם	צלעות
משולש	3
מרובע	4
מחומש	5
משושה	6
משובע	7
מתומן	8
מתושע	9
מעושר	10

סוגי מצולעים

• מצולע קמור הוא מצולע שכל זוויותיו הפנימיות קטנות מ-180 מעלות. במצולע קמור הקו המחבר כל שתי נקודות מתוך המצולע עובר רק בתוך המצולע.
• מצולע קעור הוא מצולע בעל זווית אחת לפחות הגדולה מ-180 מעלות. במצולע קעור ישנם לפחות שתי נקודות עבורם הקו המחבר אותם עובר מחוץ למצולע.
• מצולע שווה-צלעות הוא מצולע שכל צלעותיו שוות. דוגמא למצולע שווה צלעות היא מעוין.
• מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות, וכל זוויותיו שוות. דוגמאות למצולע משוכלל הם הריבוע ומשולש שווה צלעות.

לעתים ניתן למצולע שם המפרט מעט יותר את תכונותיו. דוגמאות:

• במשפחת המשולשים מבחינים ב:
  • משולש שווה-צלעות: משולש שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות, כל זווית היא של 60 מעלות,
  • משולש שווה שוקיים: משולש שזוג מצלעותיו שוות. הצלע השלישית נקראת צלע הבסיס.
  • משולש ישר זווית: משולש שבו ישנה זווית ישרה.
• במשפחת המרובעים מבחינים ב:
  • ריבוע: מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן וכל זוויותיו שוות (צלעותיו הנגדיות מקבילות זו לזו),
  • מלבן: מרובע שכל זוויותיו שוות, צלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות,
  • מעוין: מרובע שכל צלעותיו שוות באורכן,
  • מקבילית: מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ומקבילות,
  • דלתון: מרובע שבו שתי צלעות שוות זו לזו, ושתי צלעות אחרות שוות אף הן זו לזו
  • טרפז: מרובע ששתיים מצלעותיו מקבילות זו לזו.

תכונות

סכום הזוויות הפנימיות (ביחידות של מעלת קשת) במצולע קמור בעל n צלעות ( n קודקודים) הוא:

$\ (n-2)\cdot 180^\circ$.

גודלה של כל זווית במצולע משוכלל בעל n צלעות הוא:

$\alpha = \frac{n-2}{n} \cdot 180^\circ$

או

$\alpha = 180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

מס' האלכסונים במצולע:

$\frac{n \left( n-3 \right)}{2}\,$ (ההוכחה)

הוכחות לסכום הזוויות במצולע

הוכחה שסכום הזוויות במשולש שווה 180 מעלות:
נתחיל בבניית עזר. נצייר קו מקביל לבסיס המשולש, שחותך את המשולש בקודקוד של $\ \gamma$. מכיוון ש- $\ \alpha ' , \beta ' , \gamma$ יוצרים זווית שטוחה אזי $\alpha ' + \beta ' + \gamma = 180^\circ$. כעת, בגלל שצלעות המשולש הצדדיות חותכות שני קווים מקבילים מתקיימים השוויונות הבאים בין הזוויות: $\alpha = \alpha ' \ , \ \beta=\beta '$. נציב זאת בשוויון לעיל ונקבל: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, כלומר: סכום הזוויות במשולש שווה 180 מעלות. מ.ש.ל.

ההוכחה של אוקלידס

ההוכחה הנלמדת בבתי הספר, שמקורה באוקלידס מורכבת משני שלבים, השלב הראשון הוא הוכחה שסכום הזויות במשולש שווה ל-180 מעלות והשלב השני נוגע לכל יתר המצולעים. נתחיל מהשלב השני. נחלק את המצולע למשולשים, על ידי כך שנקשר את אחד הקדקדים של המצולע לכל יתר הקדקדים. באופן זה המצולע מתחלק ל n-2, מצולעים, כאשר n הוא מספר הצלעות. סכום הזויות במצולע שווה לסכום הזויות של כל המשולשים יחד, שהוא 180 כפול מספרם כלומר $\ (n-2)\cdot 180^\circ$ . מ.ש.ל.

על מנת להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 180 נבנה קו מקביל לאחת הצלעות במשולש, העובר דרך הקדקד שממולה. עתה ניתן לראות שהזויות שבין צלעות המשולש, לקו שבנינו שווים לזויות הפנימיות במשולש, ויחד יוצרים זווית של 180 מעלות. מ.ש.ל

הערה: למעשה, אין שום הכרח להוכיח שסכום זויות במשולש שווה ל-180 מעלות, משום שזוהי טענה שקולה לאקסיומת המקבילים המתקיימת בגאומטריה אוקלידית, ולפיכך מספיק להוכיח את השקילות.

מסע הצב

ההוכחה הבאה מתבססת על תוכנת המחשב לוגו, שבה מציירים צורות בעזרת הפקודות 'קדימה' ו'ימינה'. נעקוב אחר הצב בזמן שהוא מצייר את המצולע, בכל שלב הזווית שבה הצב מסתובב שווה לזווית החיצונית לזווית של המצולע, ובסה"כ לאחר ציור המצולע כולו הצב חוזר לאותו כיוון ולכן הסתובב בסה"כ 360 מעלות. הוא חזר על הפעולה n פעמים לכן אם נציין ב-A את סכום הזויות במצולע נקבל ש:$\ n \cdot 180^\circ - A = 360^\circ$ ומכאן $\ A = n \cdot 180^\circ - 360^\circ = (n-2)\cdot 180^\circ$

ריצופים ופאונים

ריצוף בעזרת משושים

על מנת ליצור ריצוף - כלומר לכסות את המישור כולו במצולעים, חייב להתקיים תנאי על הזויות: סכום הזויות בכל קדקד חייב להיות שווה ל 360. מכאן ניתן לראות לדוגמה שהמצולעים המשוכללים היחידים שניתן לרצף רק איתם את המישור הם המשולש הריבוע והמשושה המשוכללים, שכן רק הזויות הפנימיות שלהם מחלקים את 360.

התנאי ליצירה של פאון (צורה תלת ממדית הבנויה ממצולעים) היא שסכום הזויות בכל קדקד יהיה קטן מ- 360. מכאן ניתן להיוכח שהמצולעים היחידים שמהם ניתן לבנות פאון משוכלל (פאון שבו כל הפאות הם מצולעים משוכללים זהים, ואותו מספר פאות נפגש בכל קדקד) הם המשולש, הריבוע והמחומש. ישנם 3 פאונים משוכללים שניתן לבנות מהמשולש המשוכלל, ולכן בסך הכל ישנם 5 פאונים משוכללים. פאונים אלו קרויים גם 'פאונים אפלטוניים', על שם הפילוסוף היווני אפלטון.

חמשת הפאונים האפלטוניים

טטרהדרון (ארבעון - 4 פאות) הקסהדרון (קובייה - 6 פאות) אוקטהדרון (תמניון - 8 פאות) דודקהדרון (תריסרון - 12 פאות) איקוסהדרון (עשרימון - 20 פאות)

ראו גם

• מספר מצולע
• זווית

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: מצולעים

• מצולעים, באתר משרד החינוך
• מצולע, באתר MathWorld (באנגלית)