חוג מטריצות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג המטריצות מעל חוג R הוא חוג שאבריו הם המטריצות מסדר \ n \times n שרכיביהן שייכות לחוג. במקרה זה, R נקרא חוג המקדמים של חוג המטריצות, שאותו מקובל לסמן ב-\ \operatorname{M}_n(R).

הבניה של חוגי מטריצות היא אחת הבניות הבסיסיות בתורת החוגים. הקשר בין חוג המטריצות לחוג המקדמים הדוק למדי, ותוספת המטריצות, שבפני עצמן יש להן מבנה קבוע, מעשירה את מגוון האפשרויות לטפל בחוג המקורי. חוג המטריצות איזומורפי לחוג האנדומורפיזמים של מודול חופשי נוצר סופית מעל חוג המקדמים.

יחידות מטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכל חוג מטריצות יש יחידות מטריצות \ e_{ij} (\ i,j = 1,\dots,n), המקיימות את שתי התכונות הבאות:

  • \ e_{ij} e_{k \ell} = \delta_{jk} e_{i\ell},
  • \ e_{11}+\cdots +e_{nn} = I, כאשר I הוא איבר היחידה של חוג המטריצות.

יחידות המטריצות מתחלפות עם אברי חוג המקדמים. מכיוון שאפשר להציג כל איבר בחוג המטריצות (באופן יחיד) כסכום \ \sum a_{ij} e_{ij}, עם \ a_{ij} \in R, נוסחאות אלה מגדירות את חוג המטריצות. למעשה, כל חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות, אפשר להציג כחוג מטריצות מעל חוג מקדמים מתאים.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרכז של חוג מטריצות שווה לאוסף המטריצות הסקלריות מהצורה \ c I כאשר c שייך למרכז של חוג המקדמים. אם R הוא אלגברה מעל חוג קומוטטיבי C, אז \ \operatorname{M}_n(R) \cong R \otimes_C \operatorname{M}_n(C).

יש התאמה מלאה בין האידאלים של חוג המקדמים לבין האידאלים של חוג המטריצות: כל אידאל של חוג המטריצות הוא מהצורה \ \operatorname{M}_n(A) כאשר A אידאל בחוג המקדמים, וחוג המנה ביחס לאידאל זה הוא \ \operatorname{M}_n(R)/\operatorname{M}_n(A) \cong \operatorname{M}_n(R/A). בפרט, אם R חוג פשוט, אז גם חוג המטריצות מעליו פשוט. אם F שדה סגור אלגברית, כל אלגברה פשוטה מממד סופי מעל F היא אלגברת מטריצות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]