אידמפוטנט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה, אידמפוטנט הוא איבר e של חוג או של מבנה אלגברי אחר, המקיים את השוויון \ e^2 = e. פרט ל-0 (איבר האפס), שאינו נחשב בדרך כלל לאידמפוטנט, איבר היחידה הוא אידמפוטנט טריוויאלי; ואכן, האידמפוטנטים קרובים להיות איברי יחידה, לפחות באופן מקומי, וזה תפקידם בתורת המבנה של חבורות למחצה ושל חוגים.

בחוג, אידמפוטנטים e ו- f המקיימים את התנאי ef=fe=0 נקראים אידמפוטנטים אורתוגונליים. לדוגמה, אם e הוא אידמפוטנט, אז גם \ 1-e אידמפוטנט, והשניים אורתוגונליים זה לזה. אם אי-אפשר לפרק אידמפוטנט e לסכום \ e = e'+e'' של אידמפוטנטים אורתוגונליים, אז e הוא אידמפוטנט פרימיטיבי.

אידמפוטנטים והמבנה של חוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידמפוטנטים מרכזיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידמפוטנט המתחלף עם כל אברי החוג נקרא אידמפוטנט מרכזי. הדוגמה הטיפוסית מופיעה בחוגים המתפרקים לסכום ישר: אם \ R = R_1 \oplus R_2, אז \ e = (1,0) הוא אידמפוטנט מרכזי. גם להפך, אם e אידמפוטנט מרכזי של R, אז אפשר לפרק \ R = Re \oplus R(1-e), וזהו סכום ישר של תת-חוגים.

פירוק פירס[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל אידמפוטנט e בחוג אסוציאטיבי R, גם אם אינו מרכזי, \ eRe = \{exe : x \in R\} הוא תת-חוג של R, עם יחידה משלו - e. פירוק פירס של החוג הוא הפירוק לסכום ישר של חבורות \ R = eRe \oplus eR(1-e) \oplus (1-e)Re \oplus (1-e)R(1-e), שבו שני המרכיבים \ eRe ו- \ (1-e)R(1-e) הם תת-חוגים עם היחידות e ו- \ 1-e, ואילו שני האחרים הם בי-מודולים מעליהם (האחד ימני ושמאלי, והשני שמאלי וימני, בהתאמה).

הדוגמה הטיפוסית לאידמפוטנט שאינו מרכזי היא יחידת המטריצות \ e_{11} בחוג מטריצות. פירוק פירס של אלגברת המטריצות \ \operatorname{M}_2(F) נותן את ארבעת המרכיבים הטבעיים \ F e_{ij}. באלגברת מטריצות \ \operatorname{M}_n(A), היחידות \ e_{ii} הן אידמפוטנטים אורתוגונליים ופרימיטיביים שסכומם 1.

הרמת אידמפוטנטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם לכל איבר a של אידאל A בחוג R, המשלים \ 1-a הפיך, ובנוסף לזה כל אידפוטנט של חוג המנה \ R/A הוא מהצורה \ e+A כאשר e אידמפוטנט של R, אז A הוא אידאל מרים אידמפוטנטים. אם A הוא אידאל כזה, אז אפשר להרים כל מערכת סופית או בת-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחוג המנה, למערכת מתאימה ב-R (טענה זו אינה נכונה למערכות שמספר איבריהן אינו בן-מניה). בנוסף לזה אפשר להרים גם מערכות של יחידות מטריצות, וכך, אם חוג המנה הוא חוג מטריצות, זהו גם המבנה של החוג R עצמו.

כל אידאל נילי הוא מרים אידמפוטנטים. אם R סגור בטופולוגיה ה-A-אדית, אז A מרים אידמפוטנטים. באופן כללי, אידאל A המוכל ברדיקל ג'ייקובסון של החוג הוא אידאל מרים אידמפוטנטים, אם ורק אם לכל מחובר ישר של R/A (כמודול מעל R) יש כיסוי פרויקטיבי (כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה \ f : P \rightarrow M שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן).