ממד קרול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, מימד קרול של חוג חילופי R (קרוי על שם וולפגנג קרול), מוגדר להיות מספר ההכלות המקסימלי בשרשרת עולה של אידאלים ראשוניים.

[עריכה] הגדרה

נניח כי R הוא חוג חילופי, וכי $\,P_0,P_1,\dots,P_n$ הם אידאלים ראשוניים בR, כך ש $\,P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n$ . אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך n. מימד קרול של R מוגדר להיות החסם העליון של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים.

[עריכה] דוגמאות

האידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים $\,\mathbb{Z}$ הם אידאלים ראשיים מהצורה $p\mathbb{Z}$ כאשר p מספר ראשוני, וכן אידאל האפס. כמו כן, אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת $\,(0) \subsetneq p\mathbb{Z}$ . לפיכך מימד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1.
האידאל הראשוני היחיד בשדה הוא אידאל האפס, לכן מימד קרול של כל שדה הוא 0.
אם R הוא חוג נתרי ממימד k, ניתן להוכיח כי מימד קרול של $\,R[x]$ (חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R) הוא בדיוק k+1.
בהמשך לדוגמה הקודמת, אם K שדה, אז מימד קרול של החוג $\,K[x_1,\dots,x_n]$ הוא בדיוק n.