ממד קרול
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, מימד קרול של חוג חילופי R (קרוי על שם וולפגנג קרול), מוגדר להיות מספר ההכלות המקסימלי בשרשרת עולה של אידאלים ראשוניים.
[עריכה] הגדרה
נניח כי R הוא חוג חילופי, וכי
הם אידאלים ראשוניים בR, כך ש
. אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך n. מימד קרול של R מוגדר להיות החסם העליון של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים.
[עריכה] דוגמאות
- האידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים
הם אידאלים ראשיים מהצורה
כאשר p מספר ראשוני, וכן אידאל האפס. כמו כן, אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת
. לפיכך מימד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1. - האידאל הראשוני היחיד בשדה הוא אידאל האפס, לכן מימד קרול של כל שדה הוא 0.
- אם R הוא חוג נתרי ממימד k, ניתן להוכיח כי מימד קרול של
(חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R) הוא בדיוק k+1. - בהמשך לדוגמה הקודמת, אם K שדה, אז מימד קרול של החוג
הוא בדיוק n.

