ממד קרול

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, ממד קרול של חוג הוא ממד המודד עד כמה חוג, בדרך כלל נותרי, קרוב להיות ארטיני. ממד קרול קרוי על-שם וולפגנג קרול.

עבור חוג קומוטטיבי, ממד קרול הוא המספר המקסימלי של הכלות בשרשרת עולה של אידאלים ראשוניים. לכל חוג נותרי יש ממד קרול סופי. חוגים בעלי ממד קרול סופי חולקים עם החוגים הנותריים כמה תכונות חשובות.

הגדרה

נניח כי R הוא חוג חילופי, וכי $\,P_0,P_1,\dots,P_n$ הם אידאלים ראשוניים בR, כך ש$\,P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n$. אז נאמר שאידאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך n. ממד קרול של R מוגדר להיות החסם העליון של כל אורכי השרשראות של אידאלים ראשוניים.

דוגמאות

• האידאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים $\,\mathbb{Z}$ הם אידאלים ראשיים מהצורה $p\mathbb{Z}$ כאשר p מספר ראשוני, וכן אידאל האפס. כמו כן, אף אידאל ראשוני (מלבד אידאל האפס) אינו מוכל באידאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידאלים ראשוניים היא השרשרת $\,(0) \subsetneq p\mathbb{Z}$. לפיכך ממד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1. בדומה לזה, ממד קרול של כל תחום ראשי הוא 1.
• האידאל הראשוני היחיד בשדה הוא אידאל האפס, לכן ממד קרול של כל שדה הוא 0.
• במקרה הכללי $\ \dim R + 1 \leq \dim R[x] \leq 2 \dim R + 1$, ואלו החסמים הטובים ביותר האפשריים על הממד של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R. לעומת זאת אם R הוא חוג נתרי מממד k, אז ממד קרול של $\,R[x]$ הוא בדיוק k+1.
• בהמשך לדוגמה הקודמת, אם K שדה, אז ממד קרול של החוג $\,K[x_1,\dots,x_n]$ הוא בדיוק n.