חוג עם זהויות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החוגים, חוג עם זהויות (או חוג עם זהויות פולינומיות, ובקיצור חוג PI - Polynomial Identity) הוא חוג שיש לו זהות פולינומית, כלומר פולינום לא אפסי באלגברה האסוציאטיבית החופשית במספר משתנים (מעל שדה קבוע) שמתאפס בכל הצבה מתוך החוג. לחוגים עם זהויות תפקיד חשוב בתורת החוגים, בכך שהם מכלילים את התורה הקומוטטיבית (אכן, כל אלגברה קומוטטיבית היא PI, באמצעות זהות הקומוטטור) ומהווים נדבך חשוב נוסף בין החוגים הקומוטטיביים לחוגים הלא קומוטטיביים. לחוגים עם זהויות ישנו מדד, שנקרא דרגת ה-PI והוא דרגת הזהות הפולינומית המינימלית של החוג.

כל אלגברה שהיא מודול נוצר סופית מעל המרכז שלה היא PI. חוג המטריצות מעל חוג PI שוב PI (עם זאת, עמיצור בנה חוג שמקיים את כל הזהויות של מטריצות מעל חוג קומוטטיבי, אך אינו משוכן באף חוג מטריצות כזה; מאוחר יותר הביא Small דוגמה אחרת, בעלת תכונות מעניינות נוספות). ענף החוגים עם זהויות קיבל דחיפה חזקה בזכות משפט עמיצור לויצקי, הקובע מהי הזהות המינימלית של חוגי מטריצות מסדר n מעל שדה - והיא הזהות הסטנדרטית מסדר 2n. הזהות הסטנדרטית מוגדרת כך: s_n(X_1,\ldots,X_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) X_{\sigma(1)}\dotsm X_{\sigma(n)}=0~. מציאת בסיס לאידאל הזהויות, כלומר מציאת קבוצת זהויות מפורשת לחוג, כך שמהן נובעות כל הזהויות שלו היא בעיה קשה ופתוחה באופן כללי - כבר עבור מטריצות מסדר 3 מעל שדה לא ידוע בסיס כזה (עבור 2 בסיס כזה הוא הזהות הסטנדרטית וזהות קפלי, לפיה ריבוע הקומוטטור הוא במרכז). בעיית Specht שואלת האם לכל חוג PI שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל חוג נותרי יש בסיס סופי לאידאל הזהויות.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • תת-חוג של חוג עם זהויות מקיים (לפחות) את אותן זהויות.
  • מכפלה ישרה סופית של חוגים עם זהויות היא חוג עם זהויות.
  • מכפלה ישרה כלשהי של חוגים עם אותה זהות, מקיימת את אותה זהות.
  • לכל זהות יש מולטילינאריזציה, כלומר שיטה קנונית להפוך אותה לזהות שהיא לינארית בכל משתנה.
  • לפי משפט של רגב, המכפלה הטנזורית של אלגברות PI היא אלגברת PI.
  • אלגברות עם זהויות מקיימות את השערת קתה (סכום אידאלים שמאליים ניליים בהן הוא נילי) ואת השערת קורוש (אלגברה PI, אפינית ואלגברית היא מממד סופי).
  • הרחבה שלמה R \subseteq S של חוגים עם זהויות מקיימת את התכונות LO, GU, INC (בהקשר הזה, אומרים שאידאל ראשוני Q \triangleleft S מונח מעל הראשוני P \triangleleft R אם P ראשוני מינימלי מעל Q \cap R).
  • באמצעות שיטת הערכים המאפיינים הראו Razmyslov ו-Schelter כי אם R אלגברת PI נוצרת סופית מעל המרכז שלה, C אז קיימים

\alpha_1,\cdots,\alpha_n מרכזיים כך שהאלגברה R[\alpha_1,\cdots,\alpha_n] היא מודול נוצר סופית מעל C[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]. בעזרת רעיון זה הראה Schelter שחוגים עם זהויות הם קטנריים.

  • משפט Razmyslov-Kemmer-Braun קובע כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אפינית (מעל חוג נותרי) עם זהויות הוא נילפוטנטי.
  • אלגברת PI אפינית מעל חוג נותרי מקיימת את תנאי השרשרת העולה על אידאלים ראשוניים למחצה.
  • Small הוכיח שהאידאלים הראשוניים באלגברה אפינית עם זהויות מקיימים את תנאי השרשרת היורדת.
  • Rowen הוכיח כי באלגברת PI ראשונית למחצה, כל אידאל (לא אפסי) חותך את המרכז (באופן לא אפסי).
  • תחומים עם זהויות מקיימים את תנאי Ore (לפי הלמה של Jategaonkar) ולכן משוכנים בחוגים עם חילוק.
  • משפט של Posner קובע כי לכל חוג ראשוני עם זהויות ישנו חוג שברים קלאסי, איזומורפי לחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו (שהוא שדה השברים של המרכז של החוג המקורי). בפרט, חוג ראשוני עם זהויות ניתן לשיכון בחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו.
  • חוגים עם זהויות מקיימים גרסה לא קומוטטיבית של משפט האפסים של הילברט.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Computational aspects of polynomial identities, by Alexei Kanel-Belov and Louis Halle Rowen