מרטינגל (תורת ההסתברות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות, "מרטינגל" הוא תהליך סטוכסטי \ \{X_{n}\} המקיים את ההנחות

  1. \mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty
  2. \,E(X_{n+1}\mid X_n, X_{n-1}, \ldots, X_1)=X_n.

הנחות אלו מאפשרות לראות במרטינגל מודל למשחק מתמשך הוגן, שבו ידע לגבי המקרים הקודמים אינו יכול לעזור לנבא זכיות עתידיות. כלומר, מדובר בסדרה של משתנים מקריים שבה בכל נקודה בתהליך הערך הצפוי הבא שווה לערך הנוכחי גם אם אנחנו יודעים את כל הערכים הקודמים. דוגמה פשוטה למרטינגל היא מהלך אקראי חד-ממדי (הילוך שיכור) בצעדים בעלי הסתברות שווה לכל כיוון.

דוגמה לניסוח הכללי היא למשל הימור על סדרת הטלות של מטבע הוגן, כאשר סכום הזכייה עבור צד אחד זהה לסכום ההפסד עבור הצד השני. הסדרה \ \{Y_{n}\} יכולה לייצג את היסטוריית הטלות המטבע, והסדרה \ \{X_{n} = Y_1+\cdots+Y_n\} את הסכום שיש בידי המהמר לאחר כל הטלה. מכיוון שההימור הוגן, המהמר להשאר אחרי כל הטלה עם אותו סכום שהיה לו לפני ההימור.

מרטינגלים יחסיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

התהליך \ \{X_{t}\} הוא מרטינגל יחסית לתהליך \ \{Y_{t}\}, אם מתקיים לכל n

  1. \mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty
  2. \,E(X_{n+1}\mid Y_n, Y_{n-1}, \ldots, Y_1)=X_n.

מרטינגל כשיטת הימורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרטינגל (שיטת הימורים)

מקור המילה מרטינגל הוא בשיטת הימורים כושלת שהייתה נפוצה בצרפת במאה ה-18. השיטה מבטיחה לכאורה זכייה בטוחה, בדרך הבאה:

  1. הימור על סכום כסף מסוים.
  2. במקרה של הפסד, מכפילים את הסכום ומהמרים שוב. תהליך זה חוזר על עצמו עד לזכייה. הזכייה בסוף התהליך מבטיחה למהמר רווח בגובה סכום ההימור הראשוני.

אולם השיטה אינה משפרת את התוחלת של ההימור מאחר שההימורים אינם תלויים אחד בשני, ובטח שאינה הופכת תוחלת שלילית לחיובית. בכל תקציב סופי מביאה השיטה לתוחלת הפסד, וברצף הפסדים ההפסד גדול במיוחד (פשיטת רגל).

כדי להמחיש את הנושא, ערך האתר "Wizard of Odds" הדמיה ממוחשבת למשחק שבו משתתפים שני שחקנים, המהמרים במשחק הקוביות Craps שהינו בעל 49.29 אחוזי הצלחה, כאשר שניהם מתחילים עם 255 דולר בכיסם, באופן הבא:

  • השחקן הראשון יהמר דולר בכל פעם, 100 פעמים.
  • השחקן השני ישתמש בשיטת מרטינגל. הוא ישתמש בדולר כסכום ההימור ההתחלתי, ויכפיל אותו בכל הפסד עד לניצחון, שבעקבותיו יחזור לסכום ההימור הראשוני, או עד שלא יוכל לכסות את סכום ההימור הבא, ויפסיק לשחק, או עד הניצחון הראשון אחרי הפעם ה-99.

הדמיה של מיליון משחקים כאלה הראתה שבסופו של דבר, השחקן השני, הנוקט בשיטת המרטינגל, יפסיד בממוצע פי 4 מהשחקן הראשון, הנוקט בשיטת הימור סטנדרטית. עבודה זו מראה את הנחיתות של שיטת המרטינגל להימור על פני שיטת הימור סטנדרטית, במשחקי מזל המורכבים מסיבובים שחוזרים על עצמם מספר רב של פעמים.