משפט גאוס-לוקאס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, משפט גאוס-לוקאס, הקרוי על שמם של קרל פרידריך גאוס ופליקס לוקאס, מספק יחס גאומטרי בין השורשים של פולינום P לשורשים של הנגזרת שלו \,P'. קבוצת השורשים של פולינום ממשי או מרוכב היא קבוצת נקודות במישור המרוכב. המשפט קובע כי כל השורשים של \,P' נמצאים בתוך הקמור של השורשים של P.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם P הוא פולינום בעל מקדמים מרוכבים, כל האפסים של \,P' נמצאים בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P (במישור המרוכב).

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן המשפט היסודי של האלגברה, נובע כי ל-P קיים פירוק יחיד מעל שדה המספרים המרוכבים: P(z)= \alpha \prod_{i=1}^n (z-a_i), כאשר המספרים a_1, a_2, \ldots, a_n הם השורשים של P.

יהי Z מספר מרוכב עבורו P(z) \neq 0. נבצע בפולינום נגזרת לוגריתמית ונקבל:  \frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-a_i}.. באופן ספציפי, אם Z הוא שורש של P' ועדיין P(z) \neq 0, אז:  \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-a_i}=0.\ או: \ \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{a_i} } {\vert z-a_i\vert^2}=0.. הביטוי האחרון יכול להיכתב גם כ-: \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-a_i\vert^2}\right)\overline{z}=
\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-a_i\vert^2}\overline{a_i}. . ניתן לראות כי Z הוא סכום משקלים בעל מקדמים חיוביים, או מרכז כובד של המספרים המרוכבים a_i ולכן הוא נמצא בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P , מש"ל.