משפט גאוס-לוקאס

באנליזה מרוכבת, משפט גאוס-לוקאס, הקרוי על שמם של קרל פרידריך גאוס ופליקס לוקאס, מספק יחס גאומטרי בין השורשים של פולינום P לשורשים של הנגזרת שלו $\,P'$. קבוצת השורשים של פולינום ממשי או מרוכב היא קבוצת נקודות במישור המרוכב. המשפט קובע כי כל השורשים של $\,P'$ נמצאים בתוך הקמור של השורשים של P.

ניסוח

אם P הוא פולינום בעל מקדמים מרוכבים, כל האפסים של $\,P'$ נמצאים בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P (במישור המרוכב).

הוכחה

מן המשפט היסודי של האלגברה, נובע כי ל-P קיים פירוק יחיד מעל שדה המספרים המרוכבים: $P(z)= \alpha \prod_{i=1}^n (z-a_i)$, כאשר המספרים $a_1, a_2, \ldots, a_n$ הם השורשים של P.

יהי Z מספר מרוכב עבורו $P(z) \neq 0$. נבצע בפולינום נגזרת לוגריתמית ונקבל: $\frac{P^\prime(z)}{P(z)}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{z-a_i}.$. באופן ספציפי, אם Z הוא שורש של $P'$ ועדיין $P(z) \neq 0$, אז: $\sum_{i=1}^n \frac{1}{z-a_i}=0.\$ או: $\ \sum_{i=1}^n \frac{\overline{z}-\overline{a_i} } {\vert z-a_i\vert^2}=0.$. הביטוי האחרון יכול להיכתב גם כ-: $\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-a_i\vert^2}\right)\overline{z}= \sum_{i=1}^n \frac{1}{\vert z-a_i\vert^2}\overline{a_i}.$ . ניתן לראות כי Z הוא סכום משקלים בעל מקדמים חיוביים, או מרכז כובד של המספרים המרוכבים $a_i$ ולכן הוא נמצא בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P , מש"ל.