אנליזה מרוכבת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אנליזה מרוכבת היא ענף של המתמטיקה העוסק בחקר פונקציות הולומורפיות, כלומר פונקציות שהן מרוכבות (פונקציות המוגדרות על פני המישור המרוכב ומקבלות ערכים מרוכבים) וגזירות. לגזירות מרוכבת השלכות גדולות יותר מאשר גזירות ממשית. לדוגמה, כל פונקציה הולומורפית מיוצגת על ידי טור חזקות בכל עיגול פתוח, ולכן היא אנליטית. בפרט, פונקציות הולומורפיות גזירות אינסוף פעמים, עובדה שאינה נכונה בהכרח עבור פונקציות ממשיות. רוב הפונקציות האלמנטריות, כגון: פולינומים, פונקציות מעריכיות והפונקציות הטריגונומטריות, הן פונקציות הולומורפיות.

הישגים עיקריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד הכלים המרכזיים באנליזה מרוכבת הוא האינטגרל המסילתי. אינטגרל על מסילה סגורה של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום פשוט קשר, יהיה שווה תמיד ל-0 (משפט זה ידוע כמשפט אינטגרל קושי). ערך של פונקציה הולומורפית בתוך דיסקה ניתן לחישוב על ידי שימוש בנוסחת אינטגרל קושי. אינטגרלים מסילתיים משמשים לעתים קרובות כאמצעי לחישוב אינטגרלים ממשיים (למשל על ידי משפט השאריות). ההתנהגות הבלתי רגילה של פונקציה הולומורפית ליד נקודות הסינגולריות שלה מתוארת על ידי משפט קאסוראטי-ויירשטראס. פונקציות שהנקודות הסינגולריות שלהן הן או קוטב או נקודת סינגולריות סליקה נקראות פונקציות מרומורפית. טורי לורן דומים מאוד לטורי טיילור, אך שונים מהם בכך שהם מאפשרים לחקור את התנהגות הפונקציה סמוך לנקודות הסינגולריות שלה.

משפט חשוב נוסף הוא: פונקציה הולומורפית החסומה בכל המישור המרוכב בהכרח פונקציה קבועה (משפט ליוביל). שימוש נחמד למשפט זה הוא הוכחה קצרה של המשפט היסודי של האלגברה, הטוען ששדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית.

תכונה חשובה נוספת של פונקציות הולומורפיות היא שערכים של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום פשוט קשר נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת בתת-תחום (תחום המוכל בתחום המקורי). נוכל לומר שהפונקציה המוגדרת על התחום המקורי אנליטית אם היא אנליטית בתת-תחום. עובדה זו מאפשרת להרחיב הגדרה של פונקציות ("המשכה אנליטית"), כגון: פונקציית זטא של רימן.

תחום חשוב נוסף באנליזה מרוכבת הוא משטחי רימן.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אנליזה מרוכבת היא אחד מענפי המתמטיקה שפותחו במהלך (מקצתה גם לפני) המאה ה-19. בין מפתחי האנליזה המרוכבת נמנים: אוילר, גאוס, רימן, קושי, ויירשטראס ועוד מספר חוקרים במהלך המאה ה-20. אמיל פיקארד הוכיח את המשפטים המרכזיים שלו ("המשפט הקטן" ו"המשפט הגדול") ב- 1879 ו- 1880, בהתאמה.

לאנליזה המרוכבת שימושים רבים בתחומי הפיזיקה וההנדסה השונים, כמו גם שימושים תאורטיים בחקר תורת המספרים. בתקופה המודרנית הפכה האנליזה המרוכבת לפופולרית בעקבות תמונות פרקטלים הניתנים לבניה על ידי שימוש בחזרות של פונקציות הולומורפיות, המפורסמת שבהם היא קבוצת מנדלברוט. יישום חשוב נוסף של האנליזה המרוכבת נעשה בתורת המיתרים.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה