פולינום

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פולינום (מילולית: רב-איבר) הוא ביטוי השווה לסכום חזקות של משתנה, או מכפלות של חזקות של כמה משתנים, עם מקדמים מספריים; דוגמאות:

• $\ 3x^2+7x-5$
• $\ y^9-y$
• $\ x^3yz+xy^3z-xyz^3$.

פולינום במשתנה אחד, $\ x$, אפשר לכתוב כצירוף $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ כאשר המקדמים $\ a_i$ הם מספרים, והחזקות הן מספרים טבעיים (לרבות אפס). 'פולינום ממשי' הוא פולינום שבו המקדמים הם מספרים ממשיים. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים בשדה (או חוג) כלשהו F, ואז מדובר ב"פולינום מעל F".

החזקה $\ n$ הגבוהה ביותר שעבורה המקדם $\ a_n$ שונה מאפס, היא המעלה של הפולינום, ומסומנת $\deg p(x)$. המקדם $\ a_0$ נקרא המקדם החופשי ו- $\ a_n$ נקרא המקדם המוביל של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל- 1, אז הפולינום נקרא פולינום מתוקן. לדוגמה, $\ 3x^2 + 5x + 12$ הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא 3.

אם מקדמי הפולינום $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ שייכים לשדה $\ F$, אז הוא מגדיר פונקציה פולינומית $\ f:F\rightarrow F$ באמצעות הצבה: $\ p(b)=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_1b+a_0$.

פונקציה מהצורה $f(x)=\frac{p_1(x)} {p_2(x)}$, כאשר $\ p_1(x), p_2(x)$ הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית.

פונקציה פולינומית אפשר לחשב במספר סופי של פעולות חיבור וכפל; משום כך יש לפולינומים (מעל הממשיים או המרוכבים) תפקיד מרכזי בתורת הקירובים.

שורש של פולינום

להרחבה בנושא ראו: היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות

שורש (או אפס) של פולינום $\ f(x)$ הוא ערך $\ r$ שעבורו מתקיים $\ f(r) = 0$. מציאת השורשים של פולינום הוא מהבעיות העתיקות ביותר במתמטיקה.

פולינום ממעלה שנייה, כלומר פולינום מהצורה $\ ax^2+bx+c$ ידוע בשם פולינום ריבועי. שיטה לפתרון משוואה ריבועית הייתה ידועה ליוונים הקדמונים, ואף קודם לכן לבבלים. רק במאה ה-16 נמצאה שיטה לפתרון כללי של משוואה ממעלה שלישית ורביעית: בשנת 1545 פרסם ג'ירולמו קרדאנו ספר שבו ייחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לטרטליה, ואת השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית יחס לתלמידו (של קרדאנו), לודוביקו פרארי. בתחילת המאה ה-19 הוכיחו נילס הנריק אבל ואווריסט גלואה שאין נוסחה כללית לשורש של פולינום שמעלתו גדולה מ-4, באמצעות פעולות השדה (חיבור, חיסור, כפל וחילוק) וחישוב רדיקלים (כלומר, הוצאת שורש מכל סדר).

לכל פולינום ממעלה אי זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי, כפי שניתן לראות מיידית ממשפט ערך הביניים. לפולינומים ממעלה זוגית, כגון $x^2+1$, אין שורש ממשי, אך תמיד יש שורש מרוכב. לפי המשפט היסודי של האלגברה לכל פולינום ממעלה $\ n$ יש בדיוק $\ n$ שורשים (לרבות חזרות) בשדה המספרים המרוכבים.

פולינום במקדמים רציונליים

כאשר המקדמים $\ a_i$ של הפולינום הם מספרים רציונליים, הפתרון נקרא מספר אלגברי. מספר טרנסצנדנטי (כמו פאי) הוא כזה שאינו פתרון של אף משוואה מהצורה הזו.

את הפתרונות הרציונליים של פולינום במקדמים שלמים אפשר למצוא באמצעות המשפט הבא: יהי $\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ פולינום שכל מקדמיו שלמים. נניח ש $\frac{c}{d} \in \mathbb{Q}$ מספר רציונלי שהוא שורש של הפולינום $\ p(x)$. אזי מתקיים: $\ c$ מחלק את $\ a_0$ ו-$\ d$ מחלק את $\ a_n$.

המשפט מספק קבוצה סופית של פתרונות אפשריים, שאותם ניתן לבדוק בהצבה ישירה.

חוג הפולינומים

קבוצת כל הפולינומים מעל שדה $\mathbb{F}$ או חוג $\ R$ נתון מהווה חוג, ומסומנת לרוב ב $\mathbb{F}[x]$ או $\ R[x]$ בהתאמה. מעל שדה, החוג מהווה חוג אוקלידי. נדון בקצת מתכונותיהן:

לינאריות

• אם $\ x_0$ שורש של פולינום $\ p$ (כלומר,$\ p(x_0)=0$) אזי הוא שורש של הפולינום $\ q=\lambda p$ לכל סקלר $\ \lambda$. כיוון ש - $\ q(x)=\lambda p(x)=\lambda 0=0$.
• אם $\ x_0$ הוא שורש של הפולינומים $\ p,q$, (כלומר, $\ p(x_0)=q(x_0)=0$) אזי הוא גם השורש של סכומם $\ p+q$, כיוון ש-$\ [q+p](x_0)=q(x_0)+p(x_0)=0+0=0$

לכן, קבוצת כל הפולינומים ממעלה $\ n$ אשר $\ x$ הינו שורש שלהם מהווים מרחב וקטורי ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר.

אוקלידיות

נתונים פולינום $\ p,q$, כך שמעלת $\ q$ גדולה ממעלת $\ p$. אזי תמיד אפשר לרשום -

$\ q = s \cdot p + r$

כאשר $\ s$ נקרא פולינום המנה ו-$\ r$ נקרא פולינום השארית ומעלתו קטנה מהמעלה של $\ p$. חשוב לציין שפולינום המנה $\ s$ ופולינום השארית $\ r$ נקבעים ביחידות. נאמר ש-$\ q$ מתחלק ב-$\ p$ אם ורק אם $\ r=0$. באמצעות חילוק בשארית קל להיווכח בטענה חשובה: המספר $\ c$ הוא שורש של הפולינום $\ p(x)$ אם ורק אם הביטוי $\ (x - c)$ מחלק את $\ p$.

לעתים ניתן לקבוע אם פולינום שמקדמיו שלמים ניתן לפירוק כמכפלת שני פולינומים בעזרת קריטריון איזנשטיין.

שדה הפונקציות הרציונליות

שדה השברים הנוצר מהחוג $\ \mathbb{F}[x]$ הוא קבוצת כל הפונקציות הרציונליות, המסומנת ב $\mathbb{F}(x)$. אלו כל הביטויים מהצורה $\frac{p(x)}{q(x)}$, כאשר $\ p, q \in \mathbb{F}[x]$.

פולינומים במספר משתנים

ניתן להכליל את מושג הפולינום לפולינמים במספר משתנים. פולינום ב 2 משתנים $\ x, y$, לדוגמה, הוא ביטוי מהצורה $\sum_{m,n}a_{m,n}x^n\cdot y^m$. בצורה דומה ניתן להגדיר פולינום ב-n משתנים.

קבוצת כל הפולינומים ב-n משתנים מעל חוג היא עדיין חוג, אך עבור $\ n >1$ זהו אינו חוג ראשי. חוג הפולינומים באינסוף משתנים אינו חוג נותרי.

תת-קבוצה חשובה של פולינומים במספר משתנים הם הפולינומים הסימטריים. פולינום $f(x_1, ... , x_n)$ ב-n משתנים $x_1 , ... , x_n$ נקרא סימטרי אם לכל תמורה $\sigma \in S_n$ מתקיים

$f \left( x_{\sigma(1)} , x_{\sigma(2)}, ... , x_{\sigma(n)} \right) = f \left( x_1 , ... , x_n \right)$.

כל פולינום סימטרי ניתן להצגה כפולינום ב-$s_1 , ... , s_n$ כאשר $s_1 , ... , s_n$ הם הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב-n משתנים. לדוגמה, עבור n=3 הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם:

• $s_1 = x_1 + x_2 + x_3$
• $s_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$
• $s_3 = x_1 x_2 x_3$

קישורים חיצוניים

• פולינום, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלי לחילוק פולינומים
• דוידסון אונליין - למידה מתוקשבת: מציג גרפים - פולינומים יישומון עם הסברים.