המשפט היסודי של האלגברה

המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום עם מקדמים מרוכבים (שמעלתו חיובית) יש שורש. חרף שמו של המשפט, אין לו הוכחה 'אלגברית' (כזו שאינה מבוססת על השלמות של השדה הממשי), וגם אין לו תפקיד מרכזי במיוחד בפיתוח של האלגברה המודרנית.

המשפט נובע ממשפט ליוביל מאנליזה מרוכבת, שכן אם אין לפולינום $\ f(z)$ שורש, קל להוכיח שהפונקציה $\ \frac{1}{f(z)}$ היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה.

הוכחה סטנדרטית שנייה באמצעות תורת גלואה, מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי. הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.

מן המשפט נובע שאם סופרים שורשים של פולינום על פי הריבוי שלהם, אז לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים במספרים המרוכבים. הריבוי של שורש a לפולינום f שווה לחזקה הגדולה ביותר של $\ (z-a)$ המחלקת את $\ f(z)$ . בניסוח אחר, a הוא שורש מריבוי k אם הוא מאפס את הנגזרת $\ f^{(k-1)}$ אבל לא את $\ f^{(k)}$ (זוהי גרסה חזקה של המשפט הקטן של בזו). הוכחת מסקנה זו פשוטה: אם הפולינום ממעלה חיובית n, אז יש לו שורש a ולפי המשפט הקטן של בזו אפשר לחלק אותו בפולינום $z-a$ . מקבלים פולינום ממעלה n-1, שאם אינו ממעלה 0, גם לו יש שורש שהוא גם שורש של הפולינום המקורי. חוזרים על התהליך n פעמים ומקבלים n שורשים.

מהמסקנה האחרונה נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מתפרק לגורמים לינאריים. הפולינום: $\ p(z) = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + ... + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_{n} z^{n}$ , ניתן להצגה בתור: $\ p(z) = a_{n} (z - \alpha_1)\cdot(z - \alpha_2)\cdot...\cdot(z - \alpha_{n-1})\cdot(z - \alpha_n)$ כאשר $\ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}$ הם שורשיו של הפולינום p.

מסקנה נוספת מן המשפט הוא שכל פולינום בעל מקדמים ממשיים מתפרק למכפלת פולינום עם גורמים ממשיים שמעלת כל גורם היא 1 או 2. זאת מכיוון שניתן לפרק את הפולינום לגורמים לינאריים מעל המרוכבים, ואז לנצל את העובדה שאם מספר מרוכב הוא שורש של פולינום ממשי כך גם הצמוד שלו. הכפלת הזוגות של הגורמים הלינאריים המתאימים לשורשים צמודים תתן פולינום בעל מקדמים ממשיים ממעלה 2.

הוכחה באמצעות תורת גלואה [עריכה]

הוכחה זו מבוססת על העובדה ששדה המספרים הממשיים סגור ממשית, ולכן לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי).

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי $\ K/\mathbb{C}$ מעל $\mathbb{C}$ . מכיוון שההרחבה ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. לכן מותר להניח בלי הגבלת הכלליות כי $\ K/\mathbb{R}$ נורמלית. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממציין אפס, היא ספרבילית, נובע ש $\ K$ היא הרחבת גלואה.

תהי $\ G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{R})$ חבורת הגלואה של ההרחבה $\ K/\mathbb{R}$ . תהי $\ H$ חבורת 2-סילו של $\ G$ . האינדקס של $\ G$ ב- $\ H$ , $\ [G:H]$ הוא אי זוגי.

מהמשפט היסודי של תורת גלואה קיימת הרחבת ביניים $\ \mathbb{R} \le L \le K$ כך ש- $\ [L:\mathbb{R}] = [G:H]$ (זהו בעצם שדה השבת של $\ H$ ).

ההרחבה $\ L/\mathbb{R}$ מדרגה אי-זוגית, ולכן הפולינום המינימלי שלה מעל $\mathbb{R}$ הוא מדרגה אי-זוגית, אבל מכיוון שלכל פולינום ממשי ממעלה אי-זוגית יש שורש, נובע שהאינדקס $\ [G:H] = 1$ .