המשפט היסודי של האלגברה

המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום עם מקדמים מרוכבים (שמעלתו אינה 0) יש שורש. חרף שמו של המשפט, אין לו הוכחה 'אלגברית' (כזו שאינה מבוססת על השלמות של השדה הממשי), וגם אין לו תפקיד מרכזי במיוחד בפיתוח של האלגברה המודרנית.

המשפט נובע ממשפט ליוביל מאנליזה מרוכבת, שכן אם אין לפולינום $\ f(z)$ שורש, קל להוכיח שהפונקציה $\ \frac{1}{f(z)}$ היא אנליטית וחסומה, ולכן קבועה. (ולכן אם יש לפולינום שורש a ניתן לחלק אותו בפולינום z-a ולהפעיל את המשפט שוב על הפולינום החדש. מספר הפעמים שמבצעים תהליך זה הוא כמעלת הפולינום.) הוכחה סטנדרטית שנייה מבוססת על משפט ערך הביניים (שממנו נובע כי לכל פולינום ממעלה אי־זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש ממשי), ועל ההבחנה שלכל מספר מרוכב יש שורש ריבועי. הוכחה זו מסובכת יותר, אבל איננה תלויה בתורת הפונקציות המרוכבות.

מן המשפט נובע שאם סופרים שורשים של פולינום על פי הריבוי שלהם, אז לכל פולינום ממעלה n יש בדיוק n שורשים במספרים המרוכבים. הריבוי של שורש a לפולינום f שווה לחזקה הגדולה ביותר של $\ (z-a)$ המחלקת את $\ f(z)$ . בניסוח אחר, a הוא שורש מריבוי k אם הוא מאפס את הנגזרת $\ f^{(k-1)}$ אבל לא את $\ f^{(k)}$ (זוהי גרסה חזקה של המשפט הקטן של בזו).

משמעות המשפט היא שכל פולינום $\ p(z) = a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + ... + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_{n} z^{n}$ , ניתן להצגה על־פי שורשיו, כלומר מתקיים: $\ a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + ... + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_{n} z^{n} = a_{n} (z - \alpha_1)\cdot(z - \alpha_2)\cdot...\cdot(z - \alpha_{n-1})\cdot(z - \alpha_n)$ כאשר $\ \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},...,\alpha_{n}$ הם שורשיו של הפולינום p.

[עריכה] הוכחה באמצעות תורת גלואה

הוכחה זו מבוססת על העובדה ששדה המספרים הממשיים סגור ממשית, ולכן לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי).

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי $\ K/\mathbb{C}$ מעל $\mathbb{C}$ . מכיוון שההרחבה ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. לכן מותר להניח בלי הגבלת הכלליות כי $\ K/\mathbb{R}$ נורמלית. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממציין אפס, היא ספרבילית, נובע ש $\ K$ היא הרחבת גלואה.

תהי $\ G = Gal(K/\mathbb{R})$ חבורת הגלואה של ההרחבה $\ K/\mathbb{R}$ . תהי $\ H$ חבורת 2-סילו של $\ G$ . האינדקס של $\ G$ ב- $\ H$ , $\ [G:H]$ הוא אי זוגי.

מהמשפט היסודי של תורת גלואה קיימת הרחבת ביניים $\ \mathbb{R} \le L \le K$ כך ש- $\ [L:\mathbb{R}] = [G:H]$ (זהו בעצם שדה השבת של $\ H$ ).

ההרחבה $\ L/\mathbb{R}$ מדרגה אי-זוגית, ולכן הפולינום המינימלי שלה מעל $\mathbb{R}$ הוא מדרגה אי-זוגית, אבל מכיוון שלכל פולינום ממשי ממעלה אי-זוגית יש שורש, נובע שהאינדקס $\ [G:H] = 1$ .