שורש (של פונקציה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שורש של פונקציה, ובקיצור שורש, הוא ערך אשר הפונקציה מחזירה עבורו 0. למשל, עבור הפונקציה $f\left(x\right)=x^2-4$ , הצבה של $\ x=2$ או $\ x=-2$ תחזיר $\ f(x)=0$ ולכן אלו הם שורשים של הפונקציה.

שורשים של פונקציה נקראים גם "אפסים של הפונקציה" או "פתרונות של הפונקציה" בז'רגון המתמטי השימושי. שורש של פונקציה הוא, בהתאם להגדרתו, שיעור ה-x של חיתוכה של הפונקציה עם ציר ה-x. דוגמה: נקודות החיתוך של הפונקציה $f\left(x\right)=x^2-4$ עם ציר ה-x הן כששיעורי ה-x הם 2 ו2-.

a הוא שורש של פולינום $\ P(x)$ בריבוי k אם ורק אם הפולינום ‎ $\ (x-a)^k$ מחלק את P.

מכיוון שניתן לראות כל פולינום בתור פונקציה, הרי שהגדרה זו תואמת גם את הגדרת השורש של פולינום. המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום ממעלה n במקדמים מרוכבים, יש בדיוק n שורשים כולל ריבוי.

בעיית מציאת השורשים של פונקציות באופן נומרי היא כר פורה למחקר מתמטי. אחת השיטות הבסיסיות בענף זה היא שיטת ניוטון-רפסון, המקרבת שורשים בעזרת נגזרות.

הצורך לקירוב של שורשים באופן נומרי נובעת בעיקר מעבודתו של גלואה, כי לא ניתן לנסח ביטוי אנליטי לחישוב שורש של משוואה כללית ממעלה חמישית ומעלה. כלומר, עבור מעלה ראשונה: $\ ax+b = c$ . הפתרון הוא קב' הנקודות שמקיימת: $\ x=(c-b)/a$ עבור $\ ax^2+bx+c = 0$ , הפתרון הוא $\ x=-b+-sqrt(b^2-4ac)/2a$ וכן ישנן נוסחאות דומות למעלה השלישית והרביעית. אולם, גלואה הראה כי אין משוואה דומה למעלה החמישית וכן לעל משוואה בעלת דרגה הגדולה מ-5.