משפט דה מואבר

משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים $\ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$, כאשר i היא היחידה המרוכבת.

הנוסחה חשובה משום שהיא מקשרת בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח, באינדוקציה, מן הזהות $\ (\cos(x)+i \sin(x))(\cos(y)+i \sin(y)) = \cos(x+y) + i \sin(x+y)$, השקולה לזהויות הטריגונומטריות $\ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)$ ו- $\ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)$.

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת הגדלים הטריגונומטריים $\ \cos(nx)$ ו- $\ \sin(nx)$ כפולינומים ב- $\ \cos(x)$ ו- $\ \sin(x)$, בהתאמה. כך למשל, $\ \cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x)$ -- ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, נוסחת דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי $(e^{ix})^n = e^{i(nx)}$.

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה $z=A(\cos x+i\sin x)\,$, כאשר $\ 0 < A$ ו- $\ 0<x<2\pi$.

המספר $\ \omega = B(\cos y+i\sin y)$ (עם $\ 0< B$), הוא שורש מסדר n של z אם $\ \omega ^n = z$, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, $\ B^n \cdot (\cos ny+i\sin ny) = A \cdot (\cos x+i\sin x)$. זה קורה בדיוק כאשר :

$\ \ B^n = A \ , \ \cos ny+i\sin ny = \cos x+i\sin x$

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור $\ 2\pi$:

$\omega = \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{A(\cos x+i\sin x)}=\sqrt[n]{A}\left\{\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right\}$

כאשר $\ k=0,1,\dots,n-1$, ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גם

• נוסחת אוילר
• שורשי יחידה

קישורים חיצוניים

• משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות