משפט דה מואבר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט דה-מואבר, שקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים \ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx), כאשר i היא היחידה המרוכבת.

הנוסחה חשובה משום שהיא מקשרת בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח, באינדוקציה, מן הזהות \ (\cos(x)+i \sin(x))(\cos(y)+i \sin(y)) = \cos(x+y) + i \sin(x+y), השקולה לזהויות הטריגונומטריות \ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y) ו- \ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y).

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת הגדלים הטריגונומטריים \ \cos(nx) ו- \ \sin(nx) כפולינומים ב- \ \cos(x) ו- \ \sin(x), בהתאמה. כך למשל, \ \cos(5x) = 16\cos(x)^5-20\cos(x)^3+5\cos(x) - ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, נוסחת דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי (e^{ix})^n = e^{i(nx)}.

הוצאת שורש מרוכב[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה z=A(\cos x+i\sin x)\,, כאשר \ 0 < A ו- \ 0<x<2\pi.

המספר \ \omega = B(\cos y+i\sin y) (עם \ 0< B), הוא שורש מסדר n של z אם \ \omega ^n = z, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר, \ B^n \cdot (\cos ny+i\sin ny) = A \cdot (\cos x+i\sin x). זה קורה בדיוק כאשר :

\ \ B^n = A \ , \ \cos ny+i\sin ny = \cos x+i\sin x

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור \ 2\pi:

\omega = \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{A(\cos x+i\sin x)}=\sqrt[n]{A}\left\{\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right\}

כאשר \ k=0,1,\dots,n-1, ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]