משפט פרון-פרובניוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט פרון-פרובניוס הוא משפט באלגברה לינארית, המתאר את הערכים העצמיים של מטריצה ריבועית בעלת ערכים ממשיים חיוביים. לפי המשפט, למטריצה כזו יש וקטור עצמי יחיד שכל רכיביו חיוביים, והוא שייך לערך העצמי המקסימלי. למשפט יש יישומים בהסתברות (בפרט בתהליכי מרקוב), מערכות דינמיות, תורת הגרפים, כלכלה, דמוגרפיה ועוד.

את המשפט הוכיח אוסקר פרון (1907) עבור מטריצות עם ערכים חיוביים. ב-1912 מצא גאורג פרובניוס הכללה לא טריוויאלית למטריצות בעלות ערכים אי-שליליים.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה הבסיסית של המשפט מטפלת במטריצה שרכיביה חיוביים. משפט. תהי A מטריצה ריבועית ממשית, שכל רכיביה חיוביים (ממש). אז:

  1. יש לה ערך עצמי ממשי r>0, כך שכל ערך עצמי אחר הוא בעל ערך מוחלט קטן מ-r. יתרה מזו,
  2. יש וקטור עצמי יחיד (עד כדי כפל בסקלר) השייך ל-r, וכל רכיביו חיוביים (ממש); זהו הווקטור העצמי היחיד של A שכל רכיביו חיוביים.

גרסה כללית יותר מרשה לערכים של המטריצה להתאפס. לשם כך אומרים ש-A מטריצה פריקה אם יש מטריצת פרמוטציה P כך ש-\ PAP^{-1} היא מטריצת בלוקים, שהבלוק השמאלי-תחתון שלה הוא אפס. משפט פרון-פרובניוס. אם A מטריצה אי-פריקה שכל רכיביה חיוביים (או אפס), אז:

  1. יש לה ערך עצמי ממשי r>0, כך שכל ערך עצמי אחר הוא בעל ערך מוחלט קטן או שווה ל-r;
  2. יש סדר h כך שהספקטרום של A נשמר תחת סיבוב באחת-חלקי-h של המעגל. יתרה מזו,
  3. יש וקטור עצמי יחיד (עד כדי כפל בסקלר) השייך ל-r, וכל רכיביו חיוביים (ממש); זהו הווקטור העצמי היחיד של A שכל רכיביו חיוביים.

רקע ותוצאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערכים העצמיים של כל מטריצה ריבועית A הם השורשים (המרוכבים) של הפולינום האופייני; הערך המוחלט הגדול ביותר בין השורשים האלה הוא הרדיוס הספקטרלי של המטריצה. הרדיוס הספקטרלי שולט בקצב הגידול של החזקות \ A^n: אם \ r = \rho(A) הוא הרדיוס הספקטרלי, אז הרכיבים בגבול של \ r^{-n}A^n חסומים, ואם הריבוי הגאומטרי הוא 1, מובטח שהגבול הזה קיים, והוא מטריצה בעלת דרגה 1.

החידוש במשפט פרון-פרובניוס הוא שהערך העצמי בעל ערך מוחלט מקסימלי הוא ממשי דווקא, ושהוא מופיע בריבוי גאומטרי 1. אם המטריצה מתארת פעולה טבעית (כפי שעושה מטריצת מרקוב להתפלגות המצב, או כל פעולה לינארית), החזקות מתארות פעולה חוזרת, והגבול כאשר n שואף לאינסוף מתאר את ההתנהגות בטווח הרחוק. מכאן החשיבות של משפט פרון-פרובניוס בתאור תהליכי מרקוב.