ערך מוחלט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ערך מוחלט הוא פונקציה אשר מודדת את "גודלם" של איברים בשדה. הערך המוחלט הרגיל מוגדר עבור מספרים ממשיים או מרוכבים, על-פי המרחק שלהם מנקודת האפס. התכונות העיקריות של הערך המוחלט הזה נלקחו כאקסיומות, המאפשרות להגדיר מושג דומה עבור שדות כלליים.

תוכן עניינים

1 ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים
2 ערך מוחלט בשדה המספרים המרוכבים
3 הגדרה כללית של ערך מוחלט
4 ראו גם
5 הערות שוליים

[עריכה] ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים

ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים

בשדה המספרים הממשיים, ערך מוחלט של מספר הוא המרחק בינו לבין האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא המספר עצמו, ואם המספר שלילי - ערכו המוחלט יהיה המספר הנגדי לו (שהוא חיובי). ערכו המוחלט של 0 הוא 0.

נהוג לסמן את הערך המוחלט של $\ x$ כך: $\left| x \right|$ .

תכונות

$\left| a \right| \ge 0$
$\left| a \right| =0\iff a=0$
$\left| ab \right| =\left| a \right|\left| b \right|$
$\left| \frac{a}{b} \right| =\frac{\left| a \right|}{\left| b \right|}$ (אם $\left| b \right| \ne 0$ )
$\left| b+a \right| \le \left| a \right| +\left| b \right|$ (תכונה זו ידועה בשם אי שוויון המשולש)
$\left| b-a \right| \ge \left|\left| a \right| -\left| b \right|\right|$
$\left| a \right| = \sqrt{a^2}$
$-b \le a \le b \iff\left| a \right| \le b$
$\left| a \right| \ge b$ אם ורק אם $a \ge b$ או $a \le -b$

[עריכה] ערך מוחלט בשדה המספרים המרוכבים

בשדה המספרים המרוכבים ההגדרה האינטואיטיבית של הערך המוחלט עדיין תקפה - בוחנים את המרחק בין המספר המרוכב ובין ראשית המישור המרוכב. עבור המספר המרוכב $\ z=a+bi$ , הערך המוחלט יהיה $\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}$ - נוסחת המרחק האוקלידי. תכונות 1-6 של הערך המוחלט מתקיימות גם עבור מספרים מרוכבים, וכמו כן מתקיים $\ z\cdot\overline{z}=|z|^2$ , כאשר $\ \overline{z}$ הוא הצמוד המרוכב של $\ z$ .

[עריכה] הגדרה כללית של ערך מוחלט

אם F הוא שדה, ערך מוחלט הוא פונקציה $\, |\ | :F \rightarrow \mathbb{R}$ , כאשר $\mathbb{R}$ הוא שדה המספרים הממשיים, המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות:

$\,|x| \ge 0$
$\,|x| = 0$ אם ורק אם x=0.
$\,|xy| = |x||y|$
קיים קבוע ממשי C, כך ש- $\ |1+a|\leq C$ לכל $\ |a|\leq 1$ .

דרישות אלה מתקיימות כמובן בערך המוחלט המקובל של מספרים ממשיים או מרוכבים (עם הקבוע C=2).

ערך מוחלט מגדיר על השדה טופולוגית האוסדורף, שבה הסדרה $\ \{x_n\}$ מתכנסת ל-x אם ורק אם $\ |x_n-x|_{\mathbb R}\rightarrow 0$ בטופולוגיה הסטנדרטית של המספרים הממשיים (כאשר $\ |\ |_{\mathbb R}$ הוא הערך המוחלט הסטנדרטי על המספרים הממשיים). שני ערכים מוחלטים הם שקולים אם הם מגדירים את אותה טופולוגיה. מחלקת השקילות נקראת לפעמים מחלק ראשוני של השדה. כל חזקה חיובית קבועה של ערך מוחלט היא ערך מוחלט, המגדיר את אותה טופולוגיה, ושני ערכים המגדירים את אותה טופולוגיה מתקבלים זה מזה על ידי העלאה בחזקה חיובית קבועה. כאשר C=2, התנאי הרביעי שקול לאי שוויון המשולש,

$\,|x+y| \le |x| + |y|$ ,

ולכל ערך מוחלט יש חזקה המקיימת תנאי זה. מכאן שהטופולוגיה שערך מוחלט מגדיר היא מטריזבילית. עם זאת, אי-שוויון המשולש אינו נשמר תחת העלאה בחזקה של הערך המוחלט (לדוגמה, חזקה גדולה מ- 1 של הערך המוחלט הממשי הסטנדרטי אינה מקיימת את אי-שוויון המשולש). ערך מוחלט המקיים תנאי חזק יותר - $\,|x+y| \le max(|x|,|y|)$ , נקרא אולטרה מטרי או לא-ארכימדי; אחרת הוא נקרא ערך מוחלט ארכימדי. כל חזקה של ערך מוחלט שאינו ארכימדי היא ערך מוחלט שאינו ארכימדי.

בגלל אי-השוויון $\ ||x|-|y||_{\mathbb R}\leq |x-y|$ , הערך המוחלט הוא תמיד פונקציה רציפה מהשדה F (ביחס לטופולוגיה המטרית) אל המספרים הממשיים (עם הטופולוגיה הרגילה). ערך מוחלט עם $\ C\leq 2$ הוא פונקציה רציפה במידה שווה.

ערך מוחלט המוגדר על שדה אפשר להמשיך לכל הרחבה אלגברית של השדה ‏‏^[1]. פונקציה המוגדרת על תחום שלמות D ומקיימת את ארבע האקסיומות, אפשר להרחיב לערך מוחלט המוגדר על שדה השברים של D, באמצעות הנוסחה $\ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ .

[עריכה] ראו גם

[עריכה] הערות שוליים

^ ‏Algebraic number theory, E. Weiss, משפט 2-4-1‏

[0] ‏Algebraic number theory, E. Weiss, משפט 2-4-1‏

[1]

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד	חשבון אינפיניטסימלי - סדרה - גבול - סדרת קושי - טור - אינפיניטסימל - שדה המספרים הממשיים - ערך מוחלט - אי-שוויון המשולש - אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות	פונקציה - גרף פונקציה - פונקציה לינארית - פונקציה מונוטונית - נקודת קיצון - נקודת אוכף - פונקציה קעורה - פונקציה קמורה - פונקציה רציפה - רציפות במידה שווה - נקודת אי רציפות - נגזרת - טור טיילור - סדרת פונקציות - התכנסות במידה שווה
משפטים	משפט בולצאנו-ויירשטראס - משפטי ויירשטראס - משפט קנטור - משפט ערך הביניים - משפט פרמה - משפט רול - משפט הערך הממוצע של לגראנז' - משפט הערך הממוצע של קושי - משפט דארבו - כלל השרשרת - כלל הסנדוויץ' - כלל לופיטל - משפט שטולץ - אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל	אינטגרל - אינטגרל לא אמיתי - אינטגרל כפול - המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי - אינטגרציה בחלקים - שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת	פונקציה מרוכבת - אנליזה וקטורית - שיטת ניוטון-רפסון - משוואה דיפרנציאלית - טופולוגיה - תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

ערך מוחלט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים

[עריכה] ערך מוחלט בשדה המספרים המרוכבים

[עריכה] הגדרה כללית של ערך מוחלט

[עריכה] ראו גם

[עריכה] הערות שוליים

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות