ערך מוחלט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ערך מוחלט הוא פונקציה אשר מודדת את "גודלם" של איברים בשדה. הערך המוחלט הרגיל מוגדר עבור מספרים ממשיים או מרוכבים, על-פי המרחק שלהם מנקודת האפס במערכת צירים קרטזית. התכונות העיקריות של הערך המוחלט נלקחו כאקסיומות, המאפשרות להגדיר מושג דומה עבור שדות כלליים.

ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף של פונקציית ערך מוחלט בשדה המספרים הממשיים

בשדה המספרים הממשיים, ערך מוחלט של מספר הוא המרחק בינו לבין האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא המספר עצמו, ואם המספר שלילי - ערכו המוחלט יהיה המספר הנגדי לו (שהוא חיובי). ערכו המוחלט של 0 הוא 0.

נהוג לסמן את הערך המוחלט של \ x כך: \left| x \right|.

תכונות

  1. \left| a \right| \ge 0
  2. \left| a \right| =0\iff a=0
  3. \left| ab \right| =\left| a \right|\left| b \right|
  4. \left| \frac{a}{b} \right| =\frac{\left| a \right|}{\left| b \right|} (אם \left| b \right| \ne 0)
  5. \left| b+a \right| \le \left| a \right| +\left| b \right| (תכונה זו ידועה בשם אי שוויון המשולש)
  6. \left| b-a \right| \ge \left|\left| a \right| -\left| b \right|\right|
  7. \left| a \right| = \sqrt{a^2}
  8. -b \le a \le b \iff\left| a \right| \le b
  9. \left| a \right| \ge b אם ורק אם a \ge b או a \le -b

ערך מוחלט בשדה המספרים המרוכבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשדה המספרים המרוכבים ההגדרה האינטואיטיבית של הערך המוחלט עדיין תקפה - בוחנים את המרחק בין המספר המרוכב ובין ראשית המישור המרוכב. עבור המספר המרוכב \ z=a+bi, הערך המוחלט יהיה \ |z|=\sqrt{a^2+b^2} - נוסחת המרחק האוקלידי. תכונות 1-6 של הערך המוחלט מתקיימות גם עבור מספרים מרוכבים, וכמו כן מתקיים \ z\cdot\overline{z}=|z|^2 , כאשר \ \overline{z} הוא הצמוד המרוכב של \ z .

ביחד עם הזווית שיוצר הוקטור של המספר עם ציר ה-x, משמשים הערך המוחלט (שמסומן ב-r) והזווית (שמסומנת ב-\ \theta) כדרך נוספת להגדיר מספר מסוים. על פי נוסחת אוילר, ניתן להציג את המספר כ-\ z = r e^{i\theta}. דרך זו משמשת, למשל, להכפיל, להעלות בחזקה ולהוציא שורש בקלות.

הגדרה כללית של ערך מוחלט[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם F הוא שדה, ערך מוחלט הוא פונקציה \, |\ | :F \rightarrow \mathbb{R}, כאשר \mathbb{R} הוא שדה המספרים הממשיים, המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות:

  • \,|x| \ge 0
  • \,|x| = 0 אם ורק אם x=0.
  • \,|xy| = |x||y|
  • קיים קבוע ממשי C, כך ש- \ |1+a|\leq C לכל \ |a|\leq 1.

דרישות אלה מתקיימות כמובן בערך המוחלט המקובל של מספרים ממשיים או מרוכבים (עם הקבוע C=2).

ערך מוחלט מגדיר על השדה טופולוגית האוסדורף, שבה הסדרה \ \{x_n\} מתכנסת ל-x אם ורק אם \ |x_n-x|_{\mathbb R}\rightarrow 0 בטופולוגיה הסטנדרטית של המספרים הממשיים (כאשר \ |\ |_{\mathbb R} הוא הערך המוחלט הסטנדרטי על המספרים הממשיים). שני ערכים מוחלטים הם שקולים אם הם מגדירים את אותה טופולוגיה. מחלקת השקילות נקראת לפעמים מחלק ראשוני של השדה. כל חזקה חיובית קבועה של ערך מוחלט היא ערך מוחלט, המגדיר את אותה טופולוגיה, ושני ערכים המגדירים את אותה טופולוגיה מתקבלים זה מזה על ידי העלאה בחזקה חיובית קבועה. כאשר C=2, התנאי הרביעי שקול לאי שוויון המשולש,

  • \,|x+y| \le |x| + |y|,

ולכל ערך מוחלט יש חזקה המקיימת תנאי זה. מכאן שהטופולוגיה שערך מוחלט מגדיר היא מטריזבילית. עם זאת, אי-שוויון המשולש אינו נשמר תחת העלאה בחזקה של הערך המוחלט (לדוגמה, חזקה גדולה מ- 1 של הערך המוחלט הממשי הסטנדרטי אינה מקיימת את אי-שוויון המשולש). ערך מוחלט המקיים תנאי חזק יותר - \,|x+y| \le \max(|x|,|y|), נקרא אולטרה מטרי או לא-ארכימדי; אחרת הוא נקרא ערך מוחלט ארכימדי. כל חזקה של ערך מוחלט שאינו ארכימדי היא ערך מוחלט שאינו ארכימדי.

בגלל אי-השוויון \ ||x|-|y||_{\mathbb R}\leq |x-y|, הערך המוחלט הוא תמיד פונקציה רציפה מהשדה F (ביחס לטופולוגיה המטרית) אל המספרים הממשיים (עם הטופולוגיה הרגילה). ערך מוחלט עם \ C\leq 2 הוא פונקציה רציפה במידה שווה.

ערך מוחלט המוגדר על שדה אפשר להמשיך לכל הרחבה אלגברית של השדה ‏‏‏[1]. פונקציה המוגדרת על תחום שלמות D ומקיימת את ארבע האקסיומות, אפשר להרחיב לערך מוחלט המוגדר על שדה השברים של D, באמצעות הנוסחה \ \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.

ערך מוחלט p-אדי[עריכת קוד מקור | עריכה]

על שדה המספרים ה-p-אדיים \mathbb{Q}_p מוגדרת הערכה דיסקרטית \ \nu(\sum_{i=-N}^{\infty}a_ip^i) = -N (בהנחה ש-\ a_{-N} \neq 0), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי \ |x|_p = p^{-\nu(x)} ומטריקה (\ d(x,y) = |x-y|), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-p-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

הערך המוחלט ה-p-אדי הוא ערך מוחלט לא-ארכימדי, ומקיים דרישה חזקה יותר מאי-שוויון המשולש, שהיא

|x + y|_p \le \max\{ |x|_p , |y|_p \}.

תכונה זו מגדירה אומנם טופולוגיה מטרית, אך מספר תכונות בה שונות מהטופולוגיה המטרית הרגילה, למשל: טור אינסופי מתכנס במטריקה ה-p-אדית אם ורק אם האיבר הכללי שואף לאפס

(כלומר: \sum_{n=0}^{\infty} a_n מתכנס אם ורק אם \lim_{n\to\infty}|a_n|_p = 0)

בעוד שבמטריקה הרגילה הטור ההרמוני \sum_{n=1}^{\infty}(1/n) מתבדר, אף על פי ש-1/n שואף ל-0.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏Algebraic number theory, E. Weiss, משפט 2-4-1‏