פולינום אופייני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם \,A היא מטריצה ריבועית, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום f(\lambda) = \left| \lambda I - A \right| , כאשר \ I היא מטריצת היחידה ו- \ |\,\cdot\,| מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים \ f_A(\lambda) = \lambda^n - t_1 \lambda^{n-1} + t_2 \lambda^{n-2} \pm \dots + (-1)^{n} t_n, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא \ t_n=|A|, ואילו \ t_{1} שווה לעקבה של \,A. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר \ f_A(A) = A^n - t_1 A^{n-1} + \dots + (-1)^nt_nI = 0. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההיפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]