פולינום אופייני

באלגברה לינארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם $\,A$ היא מטריצה ריבועית, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום $f(\lambda) = \left| \lambda I - A \right|$, כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה ו- $\ |\,\cdot\,|$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים $\ f_A(\lambda) = \lambda^n - t_1 \lambda^{n-1} + t_2 \lambda^{n-2} \pm \dots + (-1)^{n} t_n$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא $\ t_n=|A|$, ואילו $\ t_{1}$ שווה לעקבה של $\,A$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר $\ f_A(A) = A^n - t_1 A^{n-1} + \dots + (-1)^nt_nI = 0$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההיפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם

• מטריצה
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן