מעגל חסום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה של המישור, מעגל חסום במצולע הוא מעגל המשיק לכל הצלעות של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חסום: כל המשולשים וכל המצולעים המשוכללים. מלבן (שאינו ריבוע) הוא דוגמה למצולע שאין לו מעגל חסום.

המעגל החסום במשולש[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעגל חסום במשולש

במשולש, מרכז המעגל החסום הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת חוצי הזוויות של המשולש. הסיבה לכך היא שחוצה הזווית הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן משתי הצלעות שווים זה לזה, ומרחקו של מרכז המעגל החסום משלוש הצלעות, הוא קבוע.

מרכז המעגל החסום נמצא תמיד בתוך המשולש (להבדיל ממרכז המעגל החוסם שנמצא בתוך המשולש, על אחת הצלעות או מחוץ למשולש, בהתאם לסוג המשולש).

נסמן ב-p = (a + b + c)/2 את מחצית היקף המשולש. רדיוס המעגל החסום הוא \ r = \frac{S}{p}, כאשר S הוא שטח המשולש, שאותו אפשר לחשב לפי נוסחת הרון S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

משפט אוילר, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: d^2 = R\cdot(R - 2r), כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי R\ge 2r.

הקטעים המחברים את קודקודי המשולש עם נקודות ההשקה של הצלעות למעגל החסום, נפגשות בנקודה אחת הקרויה נקודת Gergonne של המשולש.

מעגל חסום במצולע משוכלל[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעגל חסום ומעגל חוסם במשובע משוכלל

במצולע משוכלל, מרכז המעגל החסום מתלכד עם מרכז המעגל החוסם.

נסמן:

n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל
t - אורך הצלע במצולע המשוכלל
R - רדיוס המעגל החוסם
r - רדיוס המעגל החסום.

מתקיים:

\ t = 2r \tan \frac \pi n = 2R \sin \frac \pi n
\ r = \frac 1 2 t \cot  \frac \pi n = R \cos \frac \pi n
\ R =  \frac 1 2 t \csc \frac \pi n = r \sec \frac \pi n

תחום שבת[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשנה במסכת עירובין עוסקת בקביעת תחום שבת, ובין השאר נאמר בה:

אִם אֵינוֹ מַכִּיר, אוֹ שֶׁאֵינוֹ בָקִי בַהֲלָכָה, וְאָמַר, שְׁבִיתָתִי בִמְקוֹמִי, זָכָה לוֹ מְקוֹמוֹ אַלְפַּיִם אַמָּה לְכָל רוּחַ.
עֲגֻלּוֹת, דִּבְרֵי רַבִּי חֲנִינָא בֶּן אַנְטִיגְנוֹס.
וַחֲכָמִים אוֹמְרִים, מְרֻבָּעוֹת, כְּטַבְלָא מְרֻבַּעַת, כְּדֵי שֶׁיְהֵא נִשְׂכָּר לַזָּוִיוֹת:

משנה, מסכת עירובין, פרק ד', משנה ח'

לדברי רבי חנינא בן אנטיגנוס תחום שבת של אדם זה הוא מעגל שרדיוסו אלפיים אמה, וחכמים אומרים שתחום שבת הוא הריבוע החוסם מעגל זה. בהתאם לדברי חכמים, בכיוון האלכסון המרחק שנכלל בתוך תחום שבת הוא אלפיים אמה כפול \sqrt{2}, כלומר 2,828 אמות. בפירושו למשנה מציין פינחס קהתי: "ויש סוברים שיש לו לכל רוח כמידת האלכסון", כלומר שתחום שבת של אדם זה הוא המעגל החוסם של הריבוע, שהוא מעגל שרדיוסו 2,828 אמות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]