משתמש:ברק דיבה/פונקציית אמת

פונקציית אמת היא הדרך בה מתאימים נכונות (אמת או שקר) עבור פסוקים בתחשיב הפסוקים. כמו הגדרות רבות בלוגיקה, גם היא מוגדרת בדרך אינדוקטיבית: פעם אחת עבור פסוקיי הייסוד (בסיס האינדוקציה) ופעם אחרת עבור פסוקים המורכבים מקשרים של פסוקים שעליהם הוגדרה כבר פונקציית אמת (צעד האינדוקציה). כלומר, כך נותנים משמעות לפסוקים: על ידי כך שנותנים משמעות לפסוקים שהם הבסיסיים ביותר (למשל אקסיומות מסוימות) שמהם מורכבות טענות, ואת טענות אלו ניתן להכריע (לקבוע את אמיתותן) דרך כך שנתנו משמעות/נכונות לפסוקי הייסוד שמהן הטענות מורכבות.

הגדרה: $f:X->$ $\{1,e,\pi \}$ $y*(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})=y*x_{1}+y*x_{2}+...+y*x_{n}$

{\displaystyle \forall x\,P(x,c)}$\forall x\,P(x,c)$ ו- $\forall x\exists y\,P(y,x)\land \sim P(x,y)$היא כל פונקצייה f המתאימה לכל פסוק יסוד ערך 1 או 0.

נהוג לסמן פונקציות אמת ב f.

דרך נפוצה להמחיש פונקציית אמת היא להשתמש בטבלת אמת למשל:

-צור כאן דוגמא נחמדה-

-כאן לאחר מכן להסביר את ההגדרה האמיתית של טאוטולוגיה וסתירה-

-כאן אולי להזכיר לאחר מכן את הלמה העיקרית-

טבלה שמשמשת בלוגיקה בוליאנית ובתחשיב הפסוקים כדי להציג את כל הערכים האפשריים שביטוי מסוים יכול לקבל, בהתאם לערכים האפשריים של מרכיבי הביטוי, והיא מאפשרת לדעת מתי טיעון הוא תקף.

טבלאות אמת מראות את הערכים שמתקבלים כאשר מבצעים פעולות בוליאניות על ביטויים לוגיים, כלומר כאשר הקשרים הלוגיים נתפסים כפונקציות של ערכי האמת של הפסוקים שהם מקשרים. הפעולות הלוגיות הנחשבות סטנדרטיות הן השלילה, הקוניונקציה "וגם", הדיסיונקציה "או", פעולת התנאי או הגרירה ("אם-אז"), ופעולת התנאי הכפול ("אם ורק אם").

הן שימושיות במיוחד הן לשם חישוב תוצאותיהם של ביטויים בוליאנים, הן ככלי סמנטי עבור תחשיב הפסוקים, הן ככלי להוכחת תקפותם של טיעונים בתחשיב זה.

טבלאות אמת בסמנטיקה של תחשיב הפסוקים

נוח לייצג פונקציות אמת באמצעות טבלת אמת, בהן T ו-F מייצגים את הערכים אמת ושקר, בהתאמה. בטורים הימניים של הטבלה אנו ממצים את כלל הצירופים האפשריים של ערכי האמת הניתנים לפסוקים היסודיים, ובטורים השמאליים אנו מציגים את ערך האמת המתקבל עבור הפסוק המורכב:

טבלת האמת של שלילה $P$ $\neg P$ F T T F

טבלת האמת של התנאי $P$ $Q$ $P\to Q$ T T T T F F F T T F F T

טבלת האמת של הקוניונקציה $P$ $Q$ $P\land Q$ T T T T F F F T F F F F

טבלת האמת של הדיסיונקציה $P$ $Q$ $P\vee Q$ T T T T F T F T T F F F

טבלת האמת של התנאי הכפול $P$ $Q$ $P\leftrightarrow Q$ T T T T F F F T F F F T

כל שיוך של ערכי אמת לפסוקים יסודיים נקרא פירוש ("אינטרפרטציה") או הצבה. בטבלאות האמת, כל שורה היא פירוש. פסוק מורכב המקבל את הערך "אמת" בכל פירוש של הפסוקים היסודיים (כלומר כזה שבטבלת האמת שלו הוא מקבל T בכל השורות, נקרא טאוטולוגיה. משמעות הדבר היא שפסוק זה הוא אמיתי בזכות הקשרים הלוגיים שבין רכיביו, ללא תלות באמיתותם של הפסוקים האטומיים עצמם. פסוק המקבל את הערך "שקר" בכל פירוש נקרא סתירה. פסוק הוא קונטינגנטי אם ורק אם אינו סתירה ואינו טאוטולוגיה. קבוצה של פסוקים נקראת עקבית (קונסיסטנטית) אם קיים פירוש עבורו כל הפסוקים בקבוצה מקבלות ערך "אמת".

טבלאות אמת לחישוב תוצאותיהם של ביטויים בוליאניים

לשם חישוב תוצאותיהם של ביטויים באלגברה בוליאנית, ניתן להשתמש בטבלאות אמת בהן הערכים מיוצגים על ידי 0 ו-1. לדוגמה:

טבלת האמת של "And" קלטים תוצאה 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

טבלת האמת של "Or" קלטים תוצאה 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

טבלת האמת של "Xor" קלטים תוצאה 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0

טבלת האמת של "שקילות" קלטים תוצאה 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1

טבלת האמת של "Not" קלט תוצאה 0 1 1 0

והרי דוגמה לטבלת אמת המראה תוצאה של ביטויים מורכב יותר:

טבלת האמת של (Not(A And B קלטים A And B Not(A And B) 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0

ראו גם

• יסודות (ספר)
• אוקלידס
• היסטוריה של המתמטיקה

לקריאה נוספת

• Thomas L. Heath, The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1: Books 1-2 2nd ed. Edition, Dover publications inc. New York, 1956
• D. H. FOWLER, Book II of Euclid's Elements and a pre-Eudoxan Theory of Ratio, November 1980
• Szabó, Árpád. 1969. The beginnings of Greek mathematics, Synthese historical library 17, Reidel, 1978

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ברק דיבה/פונקציית אמת בוויקישיתוף

• ברק דיבה/פונקציית אמת, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• ברק דיבה/פונקציית אמת, באתר MathWorld (באנגלית)