יסודות (ספר)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
השער להדפסה הראשונה של יסודות באנגלית, 1570

יסודותיוונית: Στοιχεῖα) הוא חיבור בן שלושה-עשר חלקים, שכתב המתמטיקאי ההלניסטי אוקלידס מאלכסנדריה, מראשית המאה השלישית לפנה"ס. בספר מאורגנים באופן שיטתי הגדרות, אקסיומות ומשפטים בגאומטריה, בתורת המספרים ובאלגברה בסיסית. "יסודות" הוא הספר הקדום ביותר מסוג זה ששרד עד ימינו, והייתה לו השפעה מכרעת על התפתחותם של הלוגיקה, המתמטיקה והמדע בכלל.

הספר נחשב לאחד הספרים המצליחים ביותר שנכתבו מאז ומעולם.‏[1] עותקים של הספר הגיעו מביזנטיום לארצות ערב, ובמאה ה-12 הוא תורגם מערבית ללטינית. מהדורת הדפוס הראשונה של הספר הודפסה בוונציה בשנת 1482, והיא התבססה על עותק של ג'ובאני קמפנו משנת 1260. מאז זכה הספר ליותר מאלף מהדורות דפוס. בין המהדורות ראוי לציון תרגום לעברית שנעשה בעידודו של הגאון מווילנה (האג, תק"ם 1780). מספר עותקים של הטקסט היווני שרדו עד ימינו, ומצויים למשל בספריית הוותיקן ובאוקספורד. עותקים אלה אינם שלמים, ונדרשת עבודה רבה כדי לשחזר את המקור ברמת מהימנות גבוהה.

במשך מאות שנים, כאשר חטיבת הלימודים העליונה באוניברסיטאות של אירופה הייתה הקואדריוויום (לימודי אריתמטיקה, גאומטריה, מוזיקה ואסטרונומיה), היה "יסודות" חלק מהידע הנדרש מכל סטודנט. כל אדם משכיל היה משתבח בכך שקרא גם את ספרו של אוקלידס[דרוש מקור]. בזכות הספר נחשב אוקלידס לאב המכונן - "המייסד" - של הגישה האקסיומטית במתמטיקה בפרט ובמדע בכלל.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

שער מהדורה בעברית שיצאה בעידוד הגר"א (האג, תק"ם 1780)

הספרייה הגדולה של אלכסנדריה שבמצרים, שבה פעל אוקלידס, הייתה דומה למדי למוסדות מחקר אקדמיים בני ימינו. היו בה אנשים שהצטיינו במחקר, מנהלנים, וכאלו שעיקר עיסוקם היה הוראה. ככל הידוע, עסק אוקלידס בעיקר בהוראה, ו"יסודות" אכן בנוי כספר לימוד, ולא כדיווח על מחקר מקורי, שבו ניתן היה לצפות לרשימת מקורות, לעדויות למחקר עדכני בן התקופה, או לדיון בלתי פורמלי. קשה להעריך עד כמה מייצג הספר עבודה מקורית של אוקלידס. אוקלידס למד ככל הנראה אצל תלמידיו של אפלטון, ואין ספק שרוב החומר מגיע ממתמטיקאים יווניים שקדמו לו. עבודת הליקוט, הסידור והניסוח היא ככל הנראה של אוקלידס. סביר שהוא גם תרם הוכחות משלו לחלק מן המשפטים.

"יסודות" לא היה הספר הראשון מסוג זה. קדמו לו לפחות שלושה, ובהם ספרו של היפוקרטס מכיוס. הספר הצליח עד כדי כך שלא היה צורך בספרים שקדמו לו, וכך היה "יסודות" ליחיד שעותקיו שרדו מן התקופה ההלניסטית. אפילו עובדה זו לבדה מדגימה את ייחודו, ומסבירה את ההשפעה הרבה שהייתה לו. מעתיקי הספר הוסיפו לו הערות והסברים, וכאלה מופיעים בכל אחד מן העותקים שנמצאים בידינו. ההסברים שונים זה מזה, ומכאן ניתן להסיק שלא נכללו בספר המקורי.

בניגוד לדעה המקובלת, לא היה "יסודות" אנציקלופדיה שמטרתה לכסות את כל הידע בגאומטריה. זהו ספר מבוא שדן בגאומטריה, באלגברה (במובנה דאז, כלומר, של פעולות וקשרים בין כמויות גאומטריות) ובאריתמטיקה. בספר לא נכלל ידע במתמטיקה שימושית ובשיטות מעשיות לביצוע חישובים, אף שאין ספק שידע כזה היה קיים באותה תקופה. הספר גם אינו מטפל בגאומטריה של חתכי חרוט, שנחקרה בדורות שקדמו לו.

מבנה ה"יסודות"[עריכת קוד מקור | עריכה]

פרגמנט מתוך הספר השני של יסודות מאת אוקלידס, על פפירוס שנמצא בחפירות באוקסירינכוס; האיור שייך לטענה החמישית בספר.

החיבור מחולק לשלושה-עשר פרקים, או "ספרים". ששת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור, שלושת הבאים בתורת המספרים האלמנטרית, העשירי דן בקטעים ללא מידה משותפת (בשפה מודרנית, אי-רציונליים), ושלושת האחרונים - בגאומטריית המרחב. הספר אינו כולל מבוא אינטואיטיבי או היסטורי, והוא נפתח ברשימה של עשרים ושלוש הגדרות, המגיעות כנראה מאפלטון.

אוקלידס מגדיר, לדוגמה:

  • נקודה היא זה שאין לו חלק;
  • קו הוא אורך חסר רוחב;
  • קו ישר הוא זה המונח באופן אחיד בין שתי נקודות קצותיו.

מנקודת מבט מודרנית קשה לראות בהגדרות כאלה מצע מספק לפיתוח מסודר של הגאומטריה. הן כוללות מושגים רבים שלא הוגדרו כלל, ואשר נחשבו טבעיים יותר מן האובייקטים הגאומטריים. חלקן בנוי באופן שלילי, על ידי ציון התכונות החסרות במושג המוגדר.

לאחר ההגדרות מונה אוקלידס חמש הנחות ("פוסטולטים") וחמש אקסיומות (הנקראות "מושגים מוסכמים"). אצל אריסטו יש אבחנה חדה בין שני הסוגים. האקסיומות צריכות להיות נכונות כמובן מאליו לכל אדם, בעוד שהפוסטולטים הם הנחות המיוחדות למקצוע, מעין הנחות-עבודה מוסכמות ותו לא. לא ברור האם אוקלידס התכוון לאמץ את מלוא המשמעות של חלוקה זו. בכמה מעותקי הספר מקובצות יחד עשר הנחות היסוד. במתמטיקה המודרנית אין למעשה הבדל בין המושגים.

על-פי מרבית המקורות שבידינו, חמש ההנחות הן כדלקמן:

  • דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד ורק אחד.
  • כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר.
  • בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לקטע הנתון.
  • כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.
  • אם ישר חותך שני ישרים באופן כזה שסכום הזוויות הפנימיות בצד מסוים קטן מכפליים זווית ישרה, אז שני הישרים חותכים זה את זה באותו צד.

חמש הנחות אלה היו למסד של הגאומטריה האוקלידית בגישתה האקסיומטית. ההנחה האחרונה היא אקסיומת המקבילים, שעליה נכתב רבות.

לאלה נוספו חמש האקסיומות, שמקורן בחשיבה של אסכולת אריסטו:

  • שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם.
  • אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שווים, הסכומים שווים.
  • אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים, ההפרשים שווים.
  • דברים המתלכדים זה עם זה, שווים זה לזה.
  • השלם גדול מחלקו.

למרות שהספר נודע לתהילה כמופת של דיוק וקפדנות, מנקודת מבט מודרנית ניתן לטעון שהגדרותיו אינן מספקות. בעקבות אריסטו, העדיף אוקלידס הוכחות המצריכות שימוש במספר אקסיומות קטן ככל האפשר; עם זאת אפשר לזהות הנחות נסתרות ברבות מן ההוכחות. ההנחה הראשונה, לדוגמה, קובעת שדרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר, ובהוכחות המסתמכות עליה מניחים, כמובן מאליו, שקיים רק קטע אחד כזה.

למרות פגמים אלה היה הספר הישג בדורו והפך למופת של כתיבה מדוקדקת. המבנה הלוגי המסודר, היוצא מהנחות מצומצמות ככל האפשר ומגיע מהן למסקנות מרחיקות לכת, הצית את דמיונם של מדענים שקראו בו במשך הדורות, והפך לאבן בוחן לפיתוח מסודר של תורה מתמטית.

המדענים המובילים במאות ה-16 וה-17, בהם קופרניקוס, קפלר, גלילאו ובמיוחד ניוטון, הושפעו רבות מן ה"יסודות", ויישמו בעבודתם את גישתו של אוקלידס. ספרים בעלי מבנה דומה נכתבו במאות האחרונות על ידי פילוסופים (כדוגמת שפינוזה וויטגנשטיין) ולוגיקאים (כראסל ווייטהד), שכתבו ספרי "יסודות" משלהם.

תוכן החיבור[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה מן ה"יסודות" לכך שבהינתן קטע AB, ניתן לבנות משולש שווה-צלעות שהקטע הוא אחת מצלעותיו. המשולש ΑΒΓ נבנה על ידי שרטוט מעגלים Δ ו-Ε שמרכזיהם הנקודות A ו-B, ואילו Γ, הקודקוד השלישי, הוא נקודת החיתוך בין המעגלים.

ששת הספרים הראשונים עוסקים, כאמור, בגאומטריה. ארבעת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור. הראשון והשני מסכמים כנראה את עבודתו של פיתגורס, בעוד שהשלישי והרביעי מייצגים את עבודתו של היפוקרטס מכיוס.

  • הספר הראשון סוקר עובדות יסוד בגאומטריה: שוויון בין אורכים, זוויות ושטחים, ישרים מקבילים, סכום הזוויות במשולש, וכמה מקרים של חפיפת משולשים. שלושת המשפטים הראשונים מתארים בניות יסוד במחוגה ובסרגל. המשפטים האחרונים בספר, שמספרם 47 ו-48, הם משפט פיתגורס, והיפוכו (הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות, הוא משולש ישר-זווית). הכללת המשפט ההפוך ראויה לציון, משום שהוא, כמו משפט פיתגורס, שימושי מאוד.
  • בספר השני יש רק 14 טענות, המהוות ניסוח גאומטרי של טענות אלגבריות, למשל דיסטריבוטיביות: \ a(b+c)=ab+ac. התיאור נאמן לגישה באותה תקופה, שלפיה כל כמות מספרית היא אורכו של קטע. טענות 12 ו-13 הן משפט הקוסינוסים (למשולשים חדי זווית וקהי זווית, בהתאמה).
  • בספר השלישי 37 טענות על מעגלים. האחרונה היא המשפט הידוע, שלפיו אם נקודה P נמצאת מחוץ למעגל ו-L הוא ישר היוצא מ-P וחותך את המעגל, אז מכפלת המרחקים של P מנקודות החיתוך שווה תמיד לריבוע האורך של המשיק למעגל.
  • הספר הרביעי עוסק במשולשים ובריבועים החוסמים מעגל או חסומים במעגל.
  • הספר החמישי עוסק ביחסים בין אורכים, ובהשוואת אורכים זה לזה. ישנה ב"יסודות" העדפה ברורה לשוויון של שטחים, כדוגמת ab=cd, במקום שוויון של יחסים a:d=c:b, שנחשבו כנראה למושג פחות טבעי. כאן מביא אוקלידס מעבודתו של אידוקסוס. ההגדרה הרביעית בספר קובעת את עקרון ארכימדס: מספר גדול מספיק של עותקים מקטע נתון יכולים לכסות כל קטע אחר. כמו הספר השני, גם ספר זה מתאר בעיקר עובדות שהיום נחשבות לאלגברה בסיסית.
  • הספר השישי ממשיך את הדיון מהספר החמישי, ומיישם את מושג היחס לעיסוק בדמיון משולשים ודמיון של צורות אחרות. הספר כולל את משפט תלס.

ארבעת הספרים הבאים עוסקים בתורת המספרים:

שלושת הספרים האחרונים עוסקים בגאומטריית המרחב.

  • בספר האחד-עשר 39 טענות, הכוללות את יסודות גאומטריית המרחב ואת הנוסחה לנפח של מקבילונים. ספר זה מגדיר בין השאר את הגופים האפלטוניים.
  • בספר השנים-עשר נידונה שיטת המיצוי, קודמתה של האינטגרציה, לחישוב נפחים. הספר כולל את הנוסחאות לנפח של פירמידה, של חרוט, של גליל ושל כדור. השיטה, ששוכללה מאוחר יותר על ידי ארכימדס, הגיעה לאלכסנדריה בתיווכו של אאודוקסוס.
  • הספר השלושה-עשר עוסק כולו בתכונות של חמשת הגופים האפלטוניים. מעתיקים יווניים בני התקופה מייחסים את הספר ברובו ל-Theaetetus. ספר זה חותם את היצירה בדיון על היחס שבין צלעו של גוף אפלטוני לרדיוס המעגל החוסם אותו (באיקוסהדרון היחס הוא \ \sqrt{(5-\sqrt{5})/10}), וביחס שבין הנפח של הגופים האפלטוניים לנפח של כדור החוסם אותם. טענה 18 מראה שאין גופים משוכללים מלבד החמישה הידועים. עובדה זו השפיעה על החשיבה המיסטית שניסתה להתאים לגופים האפלטוניים יסודות כימיים וכוכבים. קפלר הושפע מכך עד כדי כך שניסה לבסס את הקוסמולוגיה על ההתאמה בין גופים אפלטוניים לבין כוכבי הלכת.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • History of Mathematics, Carl B. Boyer, John Wiley & Sons, 1968.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Nigel Guy Wilson, ‏Encyclopedia of Ancient Greece, באתר גוגל ספרים