סדרה מדויקת

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה $\ \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots$, שבה כל הרכבה $\ f_{i+1}\circ f_i$ שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים $\ A_i$ יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה. למשל, הסדרה $\ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B$ מדויקת אם ורק אם f הוא שיכון, והסדרה $\ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0$ היא מדויקת, אם ורק אם f הוא איזומורפיזם.

הגדרה

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים $\,G_i$ ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות $\,f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}$. נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב $\,G_i$ אם מתקיים השוויון $\,\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i$. הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב $\,G_i$ לכל i.

סדרה מדויקת קצרה

בסדרה $\,0 \rightarrow H \stackrel{f}{\rightarrow} G$, ההעתקה הראשונה היא העתקת האפס, שתמונתה 0, ולכן היא מדויקת אם ורק אם f חד-חד-ערכית. בדומה לזה בסדרה $\,H \stackrel{f}{\rightarrow} G \rightarrow 0$ ההתעתקה האחרונה שולחת את כל האברים של G לאפס, ולכן היא מדויקת אם ורק אם f על.

מתכונות אלה נובע שסדרה מדויקת מהצורה $\,0 \rightarrow G \rightarrow 0$ משמעה ש-G=0. באותו אופן, סדרה מדויקת מהצורה $\,0 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow 0$ שקולה לכך שהחץ האמצעי הוא איזומורפיזם. הסדרות הקצרות ביותר המספקות מידע לא טריוויאלי הן, אם כך, סדרות מהצורה

$\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0$.

סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח $\,G/H \cong N$. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של $i : H \hookrightarrow G$, שהוא $\mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i)$.

דוגמה

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

$\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \mathrm{mod} 2}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

כאשר ההעתקה מ $\mathbb{Z}$ ל $\mathbb{Z}$ היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ $\mathbb{Z}$ ל $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא התת חבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות.

פונקטור מדויק

בהינתן פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי $\,F:A\rightarrow B$ בין שתי קטגוריות אבליות, הפונקטור $\,F$ נקרא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, $\,F$ הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת $\, \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots$ הסדרה $\, \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots$ המתקבלת לאחר הפעלת $\,F$ גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.