סדרה מדויקת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה \ \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots, שבה כל הרכבה \ f_{i+1}\circ f_i שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים \ A_i יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה. למשל, הסדרה \ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B מדויקת אם ורק אם f הוא שיכון, והסדרה \ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0 היא מדויקת, אם ורק אם f הוא איזומורפיזם.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים \,G_i ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות \,f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}. נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב \,G_i אם מתקיים השוויון \,\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i. הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב \,G_i לכל i.

סדרה מדויקת קצרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסדרה \,0 \rightarrow H \stackrel{f}{\rightarrow} G, ההעתקה הראשונה היא העתקת האפס, שתמונתה 0, ולכן היא מדויקת אם ורק אם f חד-חד-ערכית. בדומה לזה בסדרה \,H \stackrel{f}{\rightarrow} G \rightarrow 0 ההתעתקה האחרונה שולחת את כל האברים של G לאפס, ולכן היא מדויקת אם ורק אם f על.

מתכונות אלה נובע שסדרה מדויקת מהצורה \,0 \rightarrow G \rightarrow 0 משמעה ש-G=0. באותו אופן, סדרה מדויקת מהצורה \,0 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow 0 שקולה לכך שהחץ האמצעי הוא איזומורפיזם. הסדרות הקצרות ביותר המספקות מידע לא טריוויאלי הן, אם כך, סדרות מהצורה

\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0.

סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H ב-G, והטלה מ-G על N, שהגרעין שלה הוא H. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-G, בהכרח \,G/H \cong N. נציין גם ש-N איזומורפי לקו-גרעין של i : H \hookrightarrow G, שהוא \mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i).

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \mathrm{mod} 2}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

כאשר ההעתקה מ \mathbb{Z} ל \mathbb{Z} היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ \mathbb{Z} ל \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא התת חבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות.

פונקטור מדויק[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי \,F:A\rightarrow B בין שתי קטגוריות אבליות, הפונקטור \,F נקרא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, \,F הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת \, \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots הסדרה \, \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots המתקבלת לאחר הפעלת \,F גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.